12、模拟与估值在一般模型框架中

模拟与估值在一般模型框架中

1 引言

蒙特卡洛模拟（Monte Carlo Simulation, MCS）是一种评估金融模型和衍生品定价公式的有效且灵活的数值方法。通过MCS对衍生品进行估值的第一步是将控制给定模型动态的随机微分方程（SDE）进行离散化。正确且高效地离散化SDE并非易事，关于这一特定话题的文献非常丰富。第十章详细讨论了这一话题，并为一般模型框架中的指数过程和平方根扩散引入了多种正确的和近似的离散化方案。

本书的教学方法是通过展示如何将理论模型转换为可执行的Python脚本来进行说明。因此，本章的阐述仅适用于一个离散化方案用于索引，以及另一个用于其他过程。

2 BCC97模型的模拟

给定的是第9章中的通用市场模型。首先，将时间区间[0, T]划分为等距的子区间，长度为Δt，从而得到t ∈ {0, Δt, 2Δt, …, T}，即在M+1个离散的时间点，间隔为M ≡ T∕Δt。然后，对通用市场模型中的各个过程进行离散化处理，结果如下（带s ≡ t − Δt）：

2.1 离散化表达式

对于变量 t ∈ {Δt, …, T}，其中 r̄t ≡ (rt + rs) / 2，znt通常服从标准正态分布，而 yt 服从参数为 λ 的泊松分布。这里，z1t 和 z2t 与 ρ 相关，而所有其他随机变量都是不相关的。x+ 表示的是 max[x, 0]。

公式（12.1）至（12.3）分别表示指数过程、波动率过程和短期利率过程的离散化表达式：

$$
S_t = S_s \left( e^{(\bar{r} t - r_J - v_t / 2)\Delta