15、可转换债券估值与三项树模型详解

可转换债券估值与三项树模型详解

1. 可转换债券估值

可转换债券的价值 $V(S, t)$ 是通过求解偏微分方程得到的。在这个方程中，权益部分以无风险利率 $r$ 进行贴现，而债券部分由于信用和利率风险，以风险利率（无风险利率加上信用利差 $r + s$）进行贴现。

1.1 基本方程

可转换债券价值的偏微分方程如下：
- 方程（3.72）可简化为方程（3.73）：
- $\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}V}{\partial S^{2}}+(r - q(S))S\frac{\partial V}{\partial S}-rV - sB\leq0$
- 约束条件：
- $V\geq\max(B_p, NS)$
- $V\leq\max(B_c, NS)$
- 边界条件：
- $V(S, T) = Z$
- $V(0, t) = Ze^{-r(T - t)}$

其中，$Z$ 是债券的面值，$B$ 是债券价格，$B_p$ 是可回售债券价格，$B_c$ 是可赎回债券价格。为了将违约风险纳入模型，可以设置利差 $s = p(1 - R)$，其中 $R$ 是债券违约时的回收率，$p$ 是违约率（违约概率）。

如果考虑债券的息票支付 $C(S, t)$ 和离散股息支付 $D(S, t)$，则可以对方程（3.73）进行修改：
$\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\frac{