奇异值分解 SVD

本文介绍了奇异值分解(SVD)的基本概念及其应用。SVD能够将任意矩阵分解为奇异值和奇异向量,适用于非方阵。文中详细阐述了如何通过SVD进行矩阵分解,并解释了左奇异向量、右奇异向量及奇异值的概念。此外,还讨论了SVD与主成分分析(PCA)的关系。

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奇异值分解:Singular value decomposition (SVD)

1. 作用

SVD是将矩阵分解为奇异值(singular vector)和奇异值(singular value),对非方阵进行操作的方法。
每个实数矩阵都有一个奇异值分解,但不一定都有特征分解。非方阵的矩阵没有特征分解,这是我们只能使用奇异值分解。
对于特征值分解,矩阵A可以写成: A=Vdiag(λ)V1A=Vdiag(λ)V−1
对于奇异值分解,矩阵A可以写成: A=UDVTA=UDVT

2. 求解方法

假设A是一个m * n的矩阵,那么U是一个m * m的矩阵,D是一个m * n的矩阵,V是一个n * n的矩阵。

矩阵U和V都定义为正交矩阵,而矩阵D定义为对角矩阵。注意,矩阵D不一定是方阵。

对角矩阵D对角线上的元素称为矩阵A的奇异值 singular value。矩阵U的列向量称为左奇异向量 left singular vector,矩阵V的列向量称右奇异向量right singular vector。

A的左奇异向量是AATAAT的特征向量。A的右奇异向量是ATAATA的特征向量。A的非零奇异值是ATAATA特征值的平方根,同时也是AATAAT特征值的平方根。

SVD最有用的一个性质可能是拓展矩阵求逆到非方矩阵上。

SVD 和 PCA 之间的关系

SVD 的右奇异矩阵就是 PCA 得到的主成分转化矩阵。

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