[线性常微分方程][10]UNDAMPED FORCING AND RESONANCE

在MATLAB中,计算二阶系统(如弹簧-质量-damper系统)的特征包括根、阻尼比、无阻尼自然频率和响应曲线通需要以下步骤: 1. **定义二阶微分方程**: 假设你有一个二阶线性系数微分方程,形式为: ``` m * dy'' + c * dy' + k * y = 0 ``` 其中 `m` 是质量,`c` 是阻尼系数,`k` 是刚度。你可以将其转换成标准形式: ``` y'' + 2ζω_n*y' + ω_n^2*y = 0 ``` 其中 `ζ` 是阻尼比,`ω_n` 是无阻尼自然频率。 2. **计算特征值(根)**: 使用MATLAB的`eig`函数,可以找到系统的特征矩阵对应的特征值。对于上面的标准形式,特征方程为 `(λ^2 + 2ζω_n*λ + ω_n^2) = 0`,解这个二次方程得到两个实数根(即阻尼振动的频率,可能是一对复共轭数,表示衰减的振动)。 3. **确定阻尼比(Damping Ratio)**: 阻尼比 ζ 可以通过特征值计算得出,对于一对复共轭根 `r ± jω_d`,阻尼比 ζ 为 `ζ = (ω_d / ω_n)`,其中 `ω_d` 是虚部(衰减角速度)。 4. **计算无阻尼自然频率(Undamped Natural Frequency)**: 对于非对称的实数根,较大的根就是无阻尼自然频率 `ω_n`;对于一对共轭复根,它们的模长 `sqrt(Re(r)^2 + Im(r)^2)` 等于无阻尼自然频率。 5. **绘制响应曲线**: 可以使用MATLAB的`ode45`或其他数值积分函数来求解微分方程,给定初始条件,然后画出位移(y vs 时间),速度(dy/dt vs 时间)或加速度(y'' vs 时间)的图形。这将展示系统如何随着时间演化。 6. **示例代码**: ```matlab function [r, zeta, wn] = analyze_2nd_order_system(m, c, k) % ... (编写并求解微分方程的部分) % 计算特征值 sys = [0 -1/m; 1/m 0]; roots = eig(sys); r = real(roots); % 实部作为根 % 分析阻尼比和无阻尼自然频率 if isreal(roots(1)) wn = sqrt(k/m); zeta = 0; else wn = abs(roots(1)); zeta = imag(roots(1))/wn; end % 求解并绘制响应 [t, y] = ode45(@(t,y) second_order_response(t, m, c, k, y), [0, t_final], initial_conditions); plot(t, y); ```
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包

打赏作者

matdodo

你的鼓励将是我创作的最大动力

¥1 ¥2 ¥4 ¥6 ¥10 ¥20
扫码支付:¥1
获取中
扫码支付

您的余额不足,请更换扫码支付或充值

打赏作者

实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值