算法学习笔记() DFS序、树链剖分及其应用

本文属于「算法学习」系列文章之一。之前的「数据结构和算法设计」系列着重于基础的数据结构和算法设计课程的学习，与之不同的是，这一系列主要用来记录大学课程范围之外的高级算法学习、优化与应用的全过程，同时也将归纳总结出简洁明了的算法模板，以便记忆和运用。在本系列学习文章中，为了透彻理解算法和代码，本人参考了诸多博客、教程、文档、书籍等资料，由于精力有限，恕不能一一列出，这里只列示重要资料的不完全参考列表：

• 算法竞赛进阶指南，李煜东著，河南电子音像出版社，GitHub Tedukuri社区以及个人题解文章汇总目录
• 算法 第四版 Algorithm Fourth Edition，[美] Robert Sedgewick, Kevin Wayne 著，谢路云译，配套网站

为了方便在PC上运行调试、分享代码，我还建立了相关的仓库。在这一仓库中，你可以看到算法文章、模板代码、应用题目等等。由于本系列文章的内容随时可能发生更新变动，欢迎关注和收藏算法学习系列文章目录一文以作备忘。

---

1. 模板问题

先把树链剖分的模板题给出来——已知一棵树，每个结点上包含一个数值，需要设法实现以下操作：

• 操作1：格式 1 x y z ，表示将树从 x 到 y 结点的最短路径之上，所有结点的值都加上 z ；
• 操作2：格式 2 x y ，表示求树中 x 到 y 结点的最短路径之上，所有结点的值之和；
• 操作3：格式 3 x z ，表示将以 x 为根结点的子树内，所有结点值都加上 z ；
• 操作4：格式 4 x ，表示求以 x 为根结点的子树内，所有结点值之和

这一模板题的具体要求见P3384 【模板】轻重链剖分/树链剖分，本人的题解与代码见这篇文章，完整实现了线段树和树链剖分。

---

2. DFS序和时间戳

顾名思义，DFS序就是（此处是先根遍历）DFS的顺序。先来个例子，DFS遍历下图的子树，得到的DFS序是 A B D G H I C E J F：

不要把欧拉序和DFS搞混了，欧拉序是：A B D G D H D I D B A C E J E C F C A ，即访问到该结点算一次、返回到该结点算一次。

时间戳就是（此处是先根遍历）DFS第一次访问到每个结点时的“时间”，这一时间是一个从 $1$ 开始递增的整数。仍以上图为例，分别标出结点对应的时间戳：

DFS序+时间戳的用处在于，它使树具有连续性，使树转变为一个“连续的序列”——我们把树看作数组，时间戳是下标，结点的值分别存储在其时间戳对应的位置。在上图中，“数组”是 arr ，于是 arr[1] = 'A', arr[2] = 'B', arr[3] = 'D', arr[4] = 'G', arr[5] = 'H', arr[6] = 'I', arr[7] = 'C', arr[8] = 'E', arr[9] = 'J', arr[10] = 'F' 。

从示例中，我们可以发现两个重要的性质：

• 一个结点的子树上的结点的时间戳，一定大于结点，且按照DFS序连续。例如，结点 C 的子树 E, J, F 的时间戳为 8, 9, 10 。
• 某些链（或者说路）上的时间戳也是连续的。例如，A, B, D, G 这条链上的时间戳是连续的，C, E, J 这条链上的时间戳也是连续的。

这样一来，我们可以套一个线段树，用线段树的区间修改和区间查询实现操作3和操作4。只是操作1和操作2呢？并不是所有的链都有连续的时间戳——像 A -> B -> D -> G 这条链也可用线段树的区间修改和查询来操作，但像 A -> C -> E -> J 就完全不可行了。这时，我们就需要树链剖分大法了！

---

3. 树链剖分

顾名思义，树链剖分就是把树拆成若干条不相交的链。

3.1 树链剖分的分类

一般可分为三类：

• 重链剖分——常用，时间复杂度为 $O(\log n)$ ；
• 长链剖分——不常用，时间复杂度为 $O(\sqrt{n})$ ；
• 实链剖分——用在Link-Cut Tree中

这里先主要介绍重链剖分。

3.2 重链剖分

相关术语如下：

• 重儿子结点：一个结点的所有儿子结点中，大小最大的那个结点。由于是最重的，所以只有一个。如果有多个儿子大小相等，则随机取一个。
• 轻儿子结点：一个结点除了重儿子结点之外的所有儿子结点，都是轻儿子。特别注意，根结点也是轻儿子。
• 重链：从一个轻儿子结点开始，一路只往重儿子方向走，连出的链即重链。
• 轻链：除了重链之外，全是轻链。

树链剖分之后，再DFS一遍并标出DFS序和时间戳，即可实现题目的四种操作！注意，此处DFS标记时间戳时，我们要优先往重儿子走，轻儿子无所谓。

给出上图为示例，我们实际动手剖一剖：

1. 先把重儿子标出来。A 的重儿子是 G ，G 的重儿子是 E ，E 的重儿子随便标个 J ，C 的重儿子是 F ，F 的重儿子是 D ，D 的重儿子是 X ：
   
2. 再把重链标出来。重链从轻儿子开始，一直往重儿子方向走。根结点 A 是轻儿子，于是一直往 G, E, J 方向走，得到重链 A -> G -> E -> J ；结点 C 是轻儿子，于是一直往 F, D, X 方向走，得到重链 C -> F -> D -> X 。
   
3. 剖分好之后，我们按照重儿子优先的原则进行DFS，并标出结点的时间戳，得到下图（虽然现在还看不出有什么用）：
   

树链剖分+DFS后，我们不难发现，一条重链上的结点的时间戳都是连续的——这是因为DFS序的性质2：某些链上的时间戳是连续的。我们让重链成为“某些链”，就有了这样的效果。

此外，根据重链剖分的定义，我们可以证明这一引理：除根结点外，任何一个结点的父亲结点都一定在一条重链上。证明很简单，因为父亲结点存在儿子，所以一定存在重儿子，所以一定在一条重链上。

3.3 利用线段树解决问题

现在，我们利用线段树，开始代码的实现，并实际解决问题。

3.3.1 事前准备和大概流程（两遍DFS）

剖分时，我们需要一个时间戳计数器 tim ，以及一个维护树上结点权值的线段树。接着先进行一遍DFS，标记以下内容：

• 结点的父亲是谁，用 fa[maxn] 记录；
• 结点的大小，用 siz[maxn] 记录；
• 结点的重儿子是谁，用 son[maxn] 记录；
• 结点的深度，用 dep[maxn] 记录；

此时没有标记时间戳，原因很简单，我们事先不知道重儿子是谁，自然无法重儿子优先进行DFS、标记时间戳。现在有了重儿子的信息，我们再跑一遍DFS，标记以下内容：

• 结点权值的DFS序、时间戳，分别用 w[maxn] 和 dfn[maxn] 记录，所有结点的权值则被存放在 v[maxn] 中；
• 当前结点所在重链的头部结点是谁（最上面的结点），用 top[maxn] 记录。注意，重链头部结点的头部是自身

以上是我们事先要做的准备工作。

3.3.2 代码实现关键片段

1. 图存储（链式前向星，初始化为-1版本）

const