【离散数学】集合论 第三章 集合与关系(4) 集合的归纳定义、归纳证明、数学归纳法第一/二原理

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• （国外经典教材）离散数学及其应用 第七版 Discrete Mathematics and Its Applications 7th ，作者是 Kenneth H.Rosen ，袁崇义译，机械工业出版社
• 离散数学 第二版，武波等编著，西安电子科技大学出版社，2006年
• 离散数学 第三版，方世昌等编著，西安电子科技大学出版社，2013年
• （经典参考书及其题解）离散数学/离散数学——理论•分析•题解，左孝凌、李为鉴、刘永才编著，上海科学技术文献出版社
• 离散数学习题集：数理逻辑与集合论分册，耿素云；图论分册，耿素云；抽象代数分册， 张立昂。北京大学出版社

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4.1 集合的归纳定义（如 ${\sum }^{+},{\sum }^{\ast }$ 的归纳定义）

有些集合很难用3.1节中所介绍的列举法和描述法进行定义，如命题合式公式集合、谓词合式公式集合、字符串集合、C语言程序集合等。为此，这里再介绍另一种定义集合的方法——归纳定义 inductive definition 。

一个集合 $S$ 的归纳定义由三部分组成：

• （1）基础条款：指出某些事物属于 $S$ ，其功能是给集合 $S$ 指定初始元素，使得定义的集合 $S$ 非空。
• （2）归纳条款：指出由集合 $S$ 中的已有元素构造新元素的方法。归纳条款的定义总是断言：如果事物 $x,y,\dots$ 是集合 $S$ 中的元素，那么用某些方法组合它们所得的新元素也在集合 $S$ 中。它的功能是给出从已知元素构造其他元素的规则。
• （3）极小性条款：断言一个事物除非能有限次应用基础条款和归纳条款构成，否则它不在集合 $S$ 中。
  注意，集合归纳定义的极小性条款还有其他一些常见的形式，例如“集合 $S$ 是满足基础条款和归纳条款的最小集合”、“若 $T$ 是 $S$ 的子集，$T$ 又满足基础条款和归纳条款，那么 $T=S$ ”。这些极小性条款虽然形式不同，但都指明了所定义的集合是满足基础条款和归纳条款的最小集合，即所谓的极小性。

例1 给出能被 $3$ 整除的正整数集合 $S$ 的归纳定义。
解：集合 $S$ 的归纳定义为：
（1）（基础条款）$3\in S$ 。
（2）（归纳条款）若 $x,y\in S$ ，则 $x+y\in S$ 。
（3）（极小性条款）当且仅当能够有限次应用条款(1)和条款(2)得出的元素，才在集合 $S$ 中。

例2 设 $\sum$ 是一个有限非空的字符集合。由 $\sum$ 中有限个字符拼接起来所得的字符序列称为 $\sum$ 上的字符串。一个字符串中所包含的字符的个数称为该字符串的长度。长度为 $0$ 的字符串称为空串，记为 $\epsilon$ 。${\sum }^{+}$ 是 $\sum$ 上所有非空有限长度字符串的集合，${\sum }^{\ast }$ 是 $\sum$ 上所有有限长度字符串的集合，给出 ${\sum }^{+},{\sum }^{\ast }$ 的归纳定义。
解：下面分别给出二者的归纳定义，且显然有 ∑ ∗ = ∑ + ⋃   { ε } \sum^* = \sum^+ \bigcup\ \{\varepsilon\} ∑∗=∑+⋃ { ε} 。
（1）${\sum }^{+}$ 的定义如下：
①（基础条款）如果 $a\in \sum$ ，那么 $a\in {\sum }^{+}$ 。
②（归纳条款）如果 $x\in {\sum }^{+},y\in {\sum }^{+}$ ，那么 $xy\in {\sum }^{+}$（$xy$ 表示由字符串 $x$ 和 $y$ 连接构成的串）。
③（极小性条款）集合 ${\sum }^{+}$ 仅包含能有限次应用条款①和条款②所构成的串。
（2） ∑ ∗ \sum^* ∑