【离散数学】集合论第三章集合与关系(3) 集合计数的加法原理、容斥原理

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（国外经典教材）离散数学及其应用第七版 Discrete Mathematics and Its Applications 7th ，作者是 Kenneth H.Rosen ，袁崇义译，机械工业出版社

离散数学第二版，武波等编著，西安电子科技大学出版社，2006年

离散数学第三版，方世昌等编著，西安电子科技大学出版社，2013年

（经典参考书及其题解）离散数学/离散数学——理论•分析•题解，左孝凌、李为鉴、刘永才编著，上海科学技术文献出版社

离散数学习题集：数理逻辑与集合论分册，耿素云；图论分册，耿素云；抽象代数分册，张立昂。北京大学出版社

3. 容斥原理

集合的运算可用于解决有限集合的计数问题。根据集合运算的定义，显然有以下各式成立：
（a） $|A_1 \cup A_2 | \le |A_1| + |A_2|$
（b） $|A_1 \cap A_2| \le \min(|A_1|,\ |A_2|)$
（c） $|A_1| \ge |A_1 - A_2 | \ge |A_1 | - |A_2|$
（d） $|A_1 \oplus A_2 | = |A_1| + |A_2| - 2|A_1 \cap A_2|$

计数问题求解的两个最基本规则是加法原理 addition principle 和乘法原理 multiplication principle 。本节讲解加法原理及其拓展容斥原理，【离散数学】集合论第三章集合与关系(5) 集合的笛卡尔积、笛卡尔积对交/并的分配律、集合计数的乘法原理则讲解乘法原理。

3.1 集合计数的加法原理

加法原理：如果 $A_1, A_2, \dots, A_n$ 是 $n$ 个两两互不相交的集合，那么这 $n$ 个集合的并集的元素个数为这 $n$ 个集合中的元素个数之和：
$|A_1\cup A_2\cup \dots \cup A_n| = |A_1| +|A_2| +\dots |A_n|$

例1 某学校的通信工程、电子工程和软件工程三个专业分别开设 $20, 25, 30$ 门不同的专业课程，若一同学要从中挑选一门选修课，问共有多少种可能的选择？
解：该同学可从通信工程专业开设的 $20$ 门专业课中任选一门作为选修课，也可以从电子工程专业开设的 $25$ 门专业课任选一门作为选修课，还可从软件工程专业开设的 $30$ 门专业课中任选一门作为选修课。因此共有 $20 + 25 + 30 = 75$ 种可能的选择。

定理3.1 设 $A_1, A_2$ 是有限集合，其元素个数分别为 $A_1|, |A_2|$ ，则 $|A_1\cup A_2| = |A_1| + |A_2| - |A_1\cap A_2|$ 。
证明分两种情况讨论如下：

若 $|A_1 \cap A_2| = \varnothing$ ，即 $|A_1\cap A_2| = 0$ ，则根据加法原理有 $|A_1 \cup A_2 | = |A_1 | +|A_2|$
这时公式显然成立。
若 $A_1\cap A_2 \ne \varnothing$ ，则根据 $(A_1 - A_2) \cup (A_1 \cap A_2) = A_1$ 且 $(A_1 - A_2) \cap (A_1 \cap A_2) = \varnothing$ 可得
$|A_1| = |A_1 - A_2 | + |A_1 \cap A_2|$