线性代数题

 

《线性代数》期终试卷1

（ 2学时）

本试卷共七大题

一、 填空题 (本大题共7个小题，满分25分)：

1.    (4分) 设 阶 实对称矩阵 的特征值为 , , , 的属于 的特征向量是 , 则 的属于 的两个线性无关的特征向量是(              )；

2.    (4分) 设 阶矩阵 的特征值为 , , , , 其中 是 的伴随矩阵, 则 的行列式 (        )；

3.    (4分) 设 , , 则 (          )；

4.    (4分) 已知 维列向量组 所生成

的向量空间为 , 则 的维数 dim (           )；

5.    (3分) 二次型 经过正交变换可化为

标准型 , 则 (        )；

6.    (3分) 行列式 中 的系数是(          ) ；

7.    (3分) 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 , 已知 是它的 个解向量 , 其中 , , 则该方程组的通解是(             )。

二、 计算行列式：                               

 (满分10分)

三、设 , , 求 。

(满分10分)

四、 取何值时, 线性方程组 无解或有解？

有解时求出所有解（用向量形式表示）。

(满分15分)

五、设向量组 线性无关 , 问: 常数 满足什么条件时, 向量组 , , 也线性无关。

(满分10分)

六、已知二次型 ，

(1)    写出二次型 的矩阵表达式；

(2)    求一个正交变换 ，把 化为标准形, 并写该标准型；

(3)    是什么类型的二次曲面?

(满分15分)

七、证明题（本大题共 2个小题，满分15分）：
1． (7分)设向量组 线性无关 , 向量 能由 线性表示 , 向量

不能由 线性表示 . 证明: 向量组 也线性无关。

2. (8分) 设 是 矩阵, 是 矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组

必有非零解。

《线性代数》期终试卷2 （ 2学时） 本试卷共八大题 一、 是非题（判别下列命题是否正确，正确的在括号内打 √ ，错误的在括号内打 ×； 每小题2 分，满分20 分）： 1.     若 阶方阵 的秩 ，则其伴随阵 。                    （    ） 2.    若 矩阵 和 矩阵 满足 ，则 。         （     ） 3.    实对称阵 与对角阵 相似： ，这里 必须是正交阵 。         （    ） 4.    初等矩阵都是可逆阵，并且其逆阵都是它们本身。                        （     ） 5.    若 阶方阵 满足 ，则对任意 维列向量 ，均有 。    （     ） 6.    若矩阵 和 等价，则 的行向量组与 的行向量组等价 。               （     ） 7.    若向量 线性无关，向量 线性无关，则 也线性无关。     （     ） 8.    是 矩阵，则 。                                 （     ） 9.    非齐次线性方程组 有唯一解，则 。                      （     ） 10. 正交阵的特征值一定是实数。                                         （     ） 二、 设 阶行列式：                                                                      试建立递推关系，并求 。 (满分10分) 三、设 ， ，并且 ，求 (满分10分) 四、设 ，矩阵 满足 ，其中 是 的伴随阵，求 。 (满分10分) 五、讨论线性方程组 的解的情况，在有解时求出通解。 (满分12分) 六、求一个正交变换 ，将二次型 化为标准形。 (满分14分) 七、已知 ，由它们生成的向量空间记为 ， 为所有 3维列向量构成的向量空间，问：     1． 取何值时， 但 ，为什么？     2． 取何值时， ，为什么？ ( 满分 12 分 ) 八、证明题（本大题共2个小题，满分12分）： 1．若2阶方阵满足 ，证明 可与对角阵相似。 2. 若 是正定阵，则其伴随阵 也是正定阵。