关于互质数

博客探讨了自然数m∈(1,x),n∈(1,y)互质的概率问题,当x,y趋于无穷大时,此概率极限为6/π²。还给出了计算该概率的VBA代码,并通过示例计算出x=20000000,y=10000000时,m,n互质的概率及用时。

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自然数m,n,m∈(1,x),n∈(1,y),求m,n互质(即m,n 最大公约数为1)的概率

x,y 驱于无穷大时,此概率的极限为6/π^2

Function GETPMN(ByVal X As Long, Y As Long) As Double
Dim a() As Byte, i As Long, temp As Double, p As Long
If X > Y Then
temp = X
X = Y
Y = temp
End If
If X = 1 Then GETPMN = 1: Exit Function
GETPMN = 1 - ((X \ 2) / X) * ((Y \ 2) / Y)
ReDim a(1 To X)
p = 3
Do While p <= X
If p <= Sqr(X) Then
temp = p * p
k = 0
For i = temp To X Step 2 * p 'p的倍数
a(i) = 1 '设为1表示合数
Next
End If
GETPMN = GETPMN * (1 - ((X \ p) / X) * (Y \ p) / Y)
again:
p = p + 2
If p > X Then Exit Do
If a(p) = 1 Then GoTo again
Loop
End Function

Private Sub Command1_Click()
Dim mytime As Double
mytime = Timer
Debug.Print "x=20000000,y=10000000 时, m,n互质的概率为:" & GETPMN(20000000, 10000000); "总计用时 " & Format(Timer - mytime, "0.0000") & " 秒!"

End Sub


返回:

x=20000000,y=10000000 时, m,n互质的概率为:0.607927217465724 总计用时 2.1254 秒!

### Java 实现互质数的计算方法 #### 方法概述 两个整数 \(a\) 和 \(b\) 是质的,当且仅当它们的最大公约数(GCD)为 1。因此,在 Java 中可以通过欧几里得算法来高效地解最大公约数,并判断两数是否质。 以下是基于此逻辑的具体实现: ```java public class CoprimeChecker { // 使用欧几里得算法计算最大公约数 public static int gcd(int a, int b) { while (b != 0) { int temp = b; b = a % b; a = temp; } return Math.abs(a); } // 判断两个数是否质 public static boolean areCoprime(int num1, int num2) { return gcd(num1, num2) == 1; } public static void main(String[] args) { // 测试数据 int number1 = 14; int number2 = 15; if (areCoprime(number1, number2)) { System.out.println(number1 + " 和 " + number2 + " 是互质数"); } else { System.out.println(number1 + " 和 " + number2 + " 不是互质数"); } } } ``` #### 关键点解析 1. **欧几里得算法**用于计算两个整数的最大公约数。其核心原理在于 \(\text{gcd}(a, b) = \text{gcd}(b, a \% b)\),直到余数为零为止[^1]。 2. 如果返回的最大公约数为 1,则说明输入的两个数质;否则不质。 3. 上述代码中的 `Math.abs` 函数确保即使输入负数也能正确处理。 --- #### 扩展到多个数的情况 如果需要判断一组数是否全部质,可以扩展上述逻辑如下所示: ```java import java.util.Arrays; public class MultipleCoprimeChecker { // 计算数组中所有数的最大公约数 public static int gcdOfArray(int[] numbers) { int result = numbers[0]; for (int i = 1; i < numbers.length; i++) { result = gcd(result, numbers[i]); if (result == 1) break; // 提前终止优化性能 } return result; } // 辅助函数:计算两个数的最大公约数 private static int gcd(int a, int b) { while (b != 0) { int temp = b; b = a % b; a = temp; } return Math.abs(a); } // 判断数组中的所有数是否质 public static boolean areAllCoprime(int[] numbers) { return gcdOfArray(numbers) == 1; } public static void main(String[] args) { int[] array = {3, 5, 7}; if (areAllCoprime(array)) { System.out.println(Arrays.toString(array) + " 的所有元都是互质数"); } else { System.out.println(Arrays.toString(array) + " 的所有元不是完全质"); } } } ``` --- #### 注意事项 - 当涉及大范围数值时,需注意溢出风险以及效率问题。 - 对于更复杂的场景,可能还需要引入其他库支持,例如 OpenSSL 库提供了加密级别的操作功能[^4],但这通常与纯数学运算无关。 --- ###
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