算法的时间复杂度 递推

算法的时间复杂度  递推

1.

 

NOIP 2013 提高组 初赛

7.斐波那契数列的定义如下:F1 = 1, F2 = 1, Fn =Fn–1 + Fn–2 (n ≥ 3)。如果用下面的函数计算斐波那契数列的第 n 项,则其时间复杂度为( )

int F(int n)

{

       if(n<=2)

              return 1;

       else

              return F(n-1)+F(n-2);

}

A. O(1)          B.O(n)          C. O(n2)      D. O(Fn)

 

2.

 

NOIP 2015 提高组 初赛

10.设某算法的计算时间表示为递推关系式T(n)= T(n -1) + n(n 为正整数)及T(0) = 1,则该算法的时间复杂度为(       )

A.O(log n)         B.O(nlog n)      C.O(n)               D.O(n2)

 

 

 

3.

 

NOIP 2016 提高组 初赛

 

 

 

 

 

答案:

1.D

2.D

3.C

 

详解:

 

2.

 

T(n)=T(n-1)+n                             (1)

T(n-1)=T(n-2)+n-1                       (2)

T(n-2)=T(n-3)+n-2                       (3)

T(n-3)=T(n-4)+n-3                       (4)

……

T(3)=T(2)+3                                 (n-2)

T(2)=T(1)+2                                 (n-1)

T(1)=T(0)+1                                 (n)

 

将(n)式带回(n-1) 式,将(n-1)式带回(n-2) 式,将式子依次带回,最后带回(4) 式,(3) 式,(2) 式,(1) 式。带入式子结果如下:

T(n)=T(0)+1+2+3+……+n-3+n-2+n-1+n

计算结果如下:

T(n)=1+1+2+3+……+n-3+n-2+n-1+n

T(n)=1+(1+n)*n/2

故算法的时间复杂度为

O(n2)

 

3.

 

 

### 斐波那契数列递归算法时间复杂度递推公式计算方法 斐波那契数列递归算法时间复杂度可以通过构建递推关系式来分析。以下是详细的推导过程。 #### 构建递推关系 设 \( T(n) \) 表示计算第 \( n \) 项斐波那契数所需的时间复杂度,则可以写出如下递推关系: \[ T(n) = T(n-1) + T(n-2) + O(1), \] 其中,\( T(n-1) \) 和 \( T(n-2) \) 分别代表计算前两项所需的开销,而 \( O(1) \) 则表示当前层的基本操作(如加法)所花费的时间[^1]。 #### 解析递推关系 为了简化分析,我们可以忽略常数因子的影响,并假设 \( T(n) \approx c_1 \cdot f_n \),其中 \( f_n \) 是斐波那契数列本身的值。根据斐波那契数列的增长规律可知,其通项公式满足以下形式: \[ f_n = \frac{\phi^n - (1-\phi)^n}{\sqrt{5}}, \] 其中 \( \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618 \) 是黄金比例[^2]。由此可以看出,随着 \( n \) 增大,第二项 \( (1-\phi)^n \) 迅速趋近于零,因此可以进一步近似为: \[ f_n \sim \frac{\phi^n}{\sqrt{5}}. \] 将此结果代入原递推关系中得到: \[ T(n) \sim k \cdot \phi^n, \] 其中 \( k \) 是一个与初始条件有关的比例系数。由此可见,递归算法时间复杂度大致呈指数增长,具体表现为 \( O(\phi^n) \)[^2] 或者更常见的表述 \( O(1.618^n) \)。 #### 结论总结 通过上述解析得知,斐波那契数列递归算法时间复杂度递推公式决定,最终呈现出指数级别的增长趋势。这一特性使得该算法在处理较大数值时显得极为低效,因而通常建议改用动态规划或其他高效策略替代原始递归实现[^3]。 ```python def fibonacci_recursive(n): if n <= 1: return n else: return fibonacci_recursive(n-1) + fibonacci_recursive(n-2) ``` ---
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