算法的时间复杂度 递推

算法的时间复杂度  递推

1.

 

NOIP 2013 提高组 初赛

7.斐波那契数列的定义如下:F1 = 1, F2 = 1, Fn =Fn–1 + Fn–2 (n ≥ 3)。如果用下面的函数计算斐波那契数列的第 n 项,则其时间复杂度为( )

int F(int n)

{

       if(n<=2)

              return 1;

       else

              return F(n-1)+F(n-2);

}

A. O(1)          B.O(n)          C. O(n2)      D. O(Fn)

 

2.

 

NOIP 2015 提高组 初赛

10.设某算法的计算时间表示为递推关系式T(n)= T(n -1) + n(n 为正整数)及T(0) = 1,则该算法的时间复杂度为(       )

A.O(log n)         B.O(nlog n)      C.O(n)               D.O(n2)

 

 

 

3.

 

NOIP 2016 提高组 初赛

 

 

 

 

 

答案:

1.D

2.D

3.C

 

详解:

 

2.

 

T(n)=T(n-1)+n                             (1)

T(n-1)=T(n-2)+n-1                       (2)

T(n-2)=T(n-3)+n-2                       (3)

T(n-3)=T(n-4)+n-3                       (4)

……

T(3)=T(2)+3                                 (n-2)

T(2)=T(1)+2                                 (n-1)

T(1)=T(0)+1                                 (n)

 

将(n)式带回(n-1) 式,将(n-1)式带回(n-2) 式,将式子依次带回,最后带回(4) 式,(3) 式,(2) 式,(1) 式。带入式子结果如下:

T(n)=T(0)+1+2+3+……+n-3+n-2+n-1+n

计算结果如下:

T(n)=1+1+2+3+……+n-3+n-2+n-1+n

T(n)=1+(1+n)*n/2

故算法的时间复杂度为

O(n2)

 

3.

 

 

算法分析中,递推关系式是描述递归算法时间复杂度的重要工具。通过递推关系式,可以建立算法运行时间与输入规模之间的数学关系,从而推导出时间复杂度的渐近表达式。常见的方法包括展开法、主定理(Master Theorem)以及递归树分析等。 ### 递推关系式的基本形式 递推关系式通常表示为: $$ T(n) = a \cdot T\left(\frac{n}{b}\right) + f(n) $$ 其中: - $ T(n) $ 是问题规模为 $ n $ 时的运行时间; - $ a $ 是递归调用的子问题数量; - $ \frac{n}{b} $ 是每个子问题的规模; - $ f(n) $ 是划分问题和合并结果所需的时间。 例如,归并排序的时间复杂度可以表示为: $$ T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right) + O(n) $$ ### 主定理的应用 主定理适用于形如 $ T(n) = aT\left(\frac{n}{b}\right) + f(n) $ 的递推关系式,并根据 $ f(n) $ 与 $ n^{\log_b a} $ 的关系来判断时间复杂度: 1. 如果 $ f(n) = O(n^{\log_b a - \epsilon}) $,对于某个 $ \epsilon > 0 $,则 $ T(n) = \Theta(n^{\log_b a}) $; 2. 如果 $ f(n) = \Theta(n^{\log_b a}) $,则 $ T(n) = \Theta(n^{\log_b a} \log n) $; 3. 如果 $ f(n) = \Omega(n^{\log_b a + \epsilon}) $,对于某个 $ \epsilon > 0 $,且满足正则条件,则 $ T(n) = \Theta(f(n)) $。 例如,归并排序满足第二种情况,因此其时间复杂度为 $ \Theta(n \log n) $。 ### 递归树分析 递归树是一种直观的方法,用于分析递归算法的运行时间。每个节点代表一个子问题的运行时间,树的高度代表递归的深度。将每一层的时间相加,可以得到总的时间复杂度。例如,考虑递推关系: $$ T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right) + n $$ 递归树的每一层总和为 $ n $,树的高度为 $ \log n $,因此总时间复杂度为 $ O(n \log n) $。 ### 展开法 展开法是通过不断展开递推式,找到其通项表达式。例如,考虑递推关系: $$ T(n) = T(n-1) + O(1) $$ 展开后得到: $$ T(n) = T(n-1) + 1 = T(n-2) + 2 = \cdots = T(0) + n $$ 因此,时间复杂度为 $ O(n) $。 ### 示例代码:递归计算斐波那契数列的时间复杂度分析 斐波那契数列的递归实现如下: ```python def fib(n): if n <= 1: return n return fib(n-1) + fib(n-2) ``` 其时间复杂度递推关系为: $$ T(n) = T(n-1) + T(n-2) + O(1) $$ 该递推式的时间复杂度为指数级 $ O(2^n) $,表明该算法效率较低。 ---
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