5、算法中的极值探索：从幻方到梯度上升

算法中的极值探索：从幻方到梯度上升

幻方的魅力与思考

幻方虽然在实际应用中意义不大，但观察它们的规律却十分有趣。我们可以思考以下几个关于幻方的问题：
- 我们创建的较大幻方是否遵循洛书方阵外边缘的奇偶交替模式？是否每个可能的幻方都遵循这一模式？这种模式存在的原因是什么？
- 在我们创建的幻方中，是否还有其他尚未被提及的规律？
- 能否找到另一套规则来创建类似久岛（Kurushima）的方阵？例如，是否有规则能让我们在久岛方阵中上下移动，而非对角线移动？
- 是否存在满足幻方定义，但完全不遵循久岛规则的其他类型幻方？
- 是否有更高效的代码来实现久岛算法？

几个世纪以来，幻方吸引了许多日本伟大数学家的关注，并且在世界各地的文化中都占据着重要地位。我们很幸运，过去的伟大数学家为我们留下了生成和分析幻方的算法，使我们能够在如今强大的计算机上轻松实现。同时，我们也钦佩他们仅依靠笔、纸和智慧（偶尔还有神奇的乌龟传说）来研究幻方时所展现出的耐心和洞察力。

研究历史算法虽然在当今可能没有太大的实际用途，但却是值得的。一方面，它能让我们感受到历史的厚重；另一方面，它有助于拓宽我们的视野，并可能为我们编写创新算法提供灵感。

梯度上升与下降：寻找函数极值

在算法的世界里，我们通常更关注函数的极值，如最大值（最大收入、最大利润、最大效率、最大生产力等）和最小值（最小成本、最小误差、最小不适、最小损失等）。梯度上升和梯度下降是两种简单而有效的方法，可用于高效地找到函数的极值。

设定最优税率的例子

假设你当选了一个小国的总理，你有宏伟的目标，但觉得预算不足以实现它们。因