52、网络系统中的分岔现象与矢量流形通信研究

网络系统中的分岔现象与矢量流形通信研究

1. TCP 系统中的 Hopf 分岔

在 TCP 系统的研究中，对于系统（56.5）有以下重要结论。
- 平衡点的确定 ：若函数 $p$ 由（56.6）给出，系统（56.5）的平衡点 $(x_0, y_0)$ 可通过以下公式计算：
- $x_0 = -w + \frac{\sqrt{-2w^2 + 4\alpha w\beta}}{2\beta}$
- $y_0 = \frac{(m\gamma - \beta)x_0 + \sqrt{(m\rho - \beta)^2x_0^2 + 4\beta m(\alpha + \gamma x_0)}}{2\beta}$
其中，$\beta = \delta\epsilon^2$，$\gamma = \beta - 2$，$\alpha = 2C$。
- 线性化系统 ：当 $\beta_1 = px_0 + x_0p’(x_0)$，$b_{10} = y_0p’(x_0 + y_0)$，$b_{01} = p(x_0 + y_0) + y_0p’(x_0 + y_0)$，且 $u(t) = x(t) - x_0$，$v(t) = y(t) - y_0$ 时，系统（56.5）的线性化形式为：
- $\dot{u}(t) = -ka_1\int_{0}^{t}u(t - r)dr$
- $\dot{v}(t) = -kb_{10}\int_{0}^{t}u(t - r)dr - hb_{01}v(t)$
其特征方程为：$(\lambda + ka_1\int_{0}^{t}e^{-\l