6、高阶神经网络中的外积规则与最优最小二乘训练

高阶神经网络中的外积规则与最优最小二乘训练

1. 引言

神经网络作为一种强大的机器学习工具，已经在多个领域取得了显著的成功。随着研究的深入，人们逐渐意识到高阶神经网络（High-Order Neural Networks, HONNs）在处理复杂问题时具有独特的优势。然而，高阶神经网络的训练和性能评估仍然是一个重要的研究课题。本文将重点讨论外积规则（Outer-Product Rule）在训练高阶神经网络中的应用及其与最优最小二乘训练（Optimal Least-Squares Training）的比较。

2. 外积规则简介

外积规则是最早提出的学习方案之一，主要用于训练神经网络的突触权重矩阵。尽管它简单直观，但在很多情况下并不是最优的选择。外积规则的基本思想是通过外积运算来更新权重矩阵，从而使得网络能够学习到输入和输出之间的映射关系。

2.1 外积规则的数学表示

外积规则的核心公式如下：
[ W_m[0] = \sum_{k=1}^m Y_k X_k^T ]
其中，( W_m[0] ) 是初始突触权重矩阵，( Y_k ) 和 ( X_k ) 分别是关联模式和关键模式。

3. 外积规则在高阶神经网络中的应用

高阶神经网络的训练和性能评估是本章的重点。我们首先讨论外积规则在训练高阶神经网络时的效率，并通过与最优最小二乘训练进行对比来分析其优缺点。

3.1 外积规则与最优最小二乘训练的比较

最优最小二乘训练旨在通过最小化误差平方和来确定最优的突触权重矩阵。对于高阶神经网络，外积规则可以视为最优最小二乘训练的一种近似。然而，这种近似