大白话DC3算法

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#算法 #Java #DC3

于 2024-05-19 23:03:25 首次发布

DC3算法是什么

DC3算法（也称为Skew算法）是一种高效的构建后缀数组的算法，全称为Difference Cover Modulo 3算法。

该算法于2002年被提出，论文参考：

https://www.cs.cmu.edu/~guyb/paralg/papers/KarkkainenSanders03.pdf

后缀树的引入

后缀数组是什么

后缀数组是一个整数数组，用来表示某个字符串所有后缀在字典序中的排序。

  • sa数组

后缀数组又称为sa数组（Suffix Array），其元素表示原字符串各后缀在字典序中的位置排序。

如果字符串S的后缀树组为sa，那么sa[i] 表示S中第i小的后缀在原字符串中的起始位置。

  • rank数组

与sa数组对应的是rank数组，它表示每个位置上的后缀在后缀数组中的排名。

如果字符串S的后缀树组为sa，那么rank[i]表示以i口头的后缀在后缀数组中的排名。

  • 两者关系

根据上面的定义，我们可以知道，rank数组是sa数组的逆数组，也即是：

rank[sa[i]] = i，sa[rank[i]] = i

我们通过 banana 这个字符串来演示 sa数组 以及 rank数组的工作原理

  • step1：构建所有后缀并按字典顺序排序

列出 “banana” 的所有后缀

    0: banana
    1: anana
    2: nana
    3: ana
    4: na
    5: a

按字典顺序排序后

    5: a
    3: ana
    1: anana
    0: banana
    4: na
    2: nana
  • step 2: 构建后缀数组 SA 和 rank 数组

根据排序结果，构建sa数组 ：

    SA = [5, 3, 1, 0, 4, 2]

构建 rank 数组：

    rank[5] = 0
    rank[3] = 1
    rank[1] = 2
    rank[0] = 3
    rank[4] = 4
    rank[2] = 5

因此 rank数组为：

    rank = [3, 2, 5, 1, 4, 0]

再来看一个例子

img

能解决什么

后缀数组+rank数组 可以接解决非常多的字符串问题

还能去做RMQ问题，也即是Range Maximum/Minimum Query 的缩写，表示区间最大（最小）值

关键点在于后缀数组怎么样形成最方便

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后缀数组的地位

它的地位非常高, 很多的问题都是由 后缀树 或 后缀数组 实现的

后缀树 实现 跟后缀数组实现的区别

后缀数组可以替代非常多后缀树的内容

因为后缀树生成是更麻烦的一个东西

我们用后缀数组可以代表字符串的一些后缀信息, 可以解决很多字符串的问题

后缀树案例说明

后缀字符串

从开头开始往后所有都要

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对所有后缀字符串做典序排序

所谓的后缀数组它其实代表所有的后缀字符串在排完名之后，从第0名到第7名依次写下来，这就是所谓的后缀数组

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注意一点：不会有排名相同的，因为所有后缀串的长度不同

怎么样生成排名

先看一下暴力方法生成的流程

  • step1：先生成所有的后缀字符串, 复杂度O(N^2)

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  • step2：后缀字符串数量 O(N), N个后缀字符串排序, 代价O(N*logN)

两个字符串比较大小的复杂度是O(1)吗? ==> 和字符串的长度有关，后缀串的平均长度O(N)

暴力生成的复杂度

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暴力方法生成后缀数组

  • 生成所有的后缀串

光生成后缀数组的字符串数组代价就已经是O(N^2)了

后缀字符串的数量是O(N)的

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  • 给定长度为N的字符串

1）生成所有后缀数组的字符串数组, 复杂度O(N^2), 也是N

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2）排序, N*logN, 但问题是这里的排序是两个字符串直接比较大小

字符串的平均长度是N/2

把字符串数组排好序, 单个两个字符串比对的代价O(N)

字符串排序的代价是O(N^2*logN)

是一个很痛的瓶颈

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DC3算法引入

上面暴力方法说明生成后缀树时，字符串间的字典序比较是一个耗时操作，我们需要寻求是否有一种算法来优化这一部分内容。

于是DC3算法应运而生，它能够做到时间复杂度为 O(N) 解决上面的问题。

其核心思想：根据下标模3来分组, 做了一个类似于递归的事情来把这个问题解决的。

后缀数组的复杂度跟要求

后缀数组可以做到生成复杂度: O(N)

但是有一个前提：初始时, 数组里头每一个的值不要太大

如果非常大, 下面的方法就不合适了, 常数项就会有点大

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回顾：基数排序

比如所有的数字都是三位

  • step1：先按照个位数进桶

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  • step2：从 0~9 顺序从桶中拿出数字来，然后按照十位数字进桶，后进的权重更大

  • step3：重复step2，直到最高位

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这里我们可以做一个升级, 有两位数据, 每一个数据有两个指标

56, 4 : 56 算一位, 不要拆开

对上面数据排序

3-7 最前 17-79 第二 23-34第三位 最后56-4

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如果N个样本, 数据的维度不超过3维, 而且每个维度的值相对较小(比如1000以内)，否则基数排序的常数项极大

则N个样本排序的代价可以做到O(N)

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如果一个数据有3维信息, 每个位置的值不会特别大的话,

如果有N个数据, 排完序的代价还是O(N)的

前提是每一位上的值不要太大

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再谈后缀树组

把字符串可以认为是一个数组, 每个位数据是这个字符串的ASCII码

=>可以把一个字符串求后缀数组，等同于对一个数组在求后缀数组。

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所以字符串可以求后缀数组,对于单独数组来说也可以求后缀数组

image

背景介绍

比赛中常用的后缀数组生成算法，时间复杂度最优的解是DC3算法，复杂度为O(N)

但是由于后缀数组一般耗时很久，所以比赛中的测试数据不会给的很高，选手也常用倍增算法解决, 它的复杂度为O(NlogN), 但是常数项优秀（从上面的介绍中可以看到，DC3算法使用了基数排序，常数项其实是很差的）。

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扯得有点远，我们说回到 DC3算法。

DC3算法思路

下标分类

  • 首先, 按 索引对3取模 做下标分类

i%3== 0 ==> 0类下标, 代号s0类

i%3== 1 ==> 1类下标, 代号s1类

i%3== 2 ==> 2类下标, 代号s2类

所有后缀字符串, 长度不一样, 所以不会有后缀串排名一样

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S12推出S0内部排名

假设有一个非常方便的方法 先把S1, S2类的后缀数组排名求出来（后面展开，这里先把S12当做一个可以使用的黑盒）

我们能不能得出所有0类, 1类, 2类下标的整体排名?

所有3类混在一起的下标排名能不能通过S1, S2类的已经出来的信息,给它都加工出来？

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怎么使用S1,2类的信息呢?

先看看S12类能不能把S0内部的排名搞定

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字符串不相同的情况

  • 0开头的a

  • 3开头的a

  • 6开头的c

如果只看一个字符, 6的排名是不如0,3的

这个过程可以用基数排序

s0内部的首字母不一样, 根据首字母就可以划块了

首字母不一样的块之间的排名, 我一定能求出顺序

下面的问题就是0,3开头,这些同样在一个块内部的这些后缀串怎么排名?

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  • 0开头的字符是a，后面的是1开头及其后面所有，S12中1开头的排第3位，因此S0中记为a_3

  • 3开头的字符也是a，后面的是4开头及其后面所有，S12中4开头的排第1位，因此S0中记为a_1

在S12中：1开头及其后面的所有 跟 4开头及其后面的所有的总排名我们是知道的

虽然第一维数据一样, 但是0开头的 a_3 是干不过3开头的 a_1

依然可以基数排序, 过一遍决定顺序, 时间复杂度O(S0的大小)，也即O(N/3)=O(N)

还是基数排序, 相当于一个对象 两位的信息

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S12与S0的Merge

由上面的推导可以知道，如果已知S12，那么可以在O(N)的时间复杂度内推出S0。

接下来，自然而然地想到，如果需要得到整体排名，我们只需要得到 S12与S0的merge策略。

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3 开头的 跟 2开头的谁小谁排出

依次从上往下, 如果我们存在merge策略

总排名就出来了

image

怎么进行merge呢?

我们先整体审视一变，同常规的 归并排序，或者说 map-reduce的reduce过程类似，由于S0以及S12都是有序的，我们只需要在S0以及S12侧都给到一个指针（表示在S0以及S12中数组的索引），逐一比较大小即可。

不妨设S0此时指针来到 p0，S12指针此时来到p12，如果p0指向的索引开头的字符以及p1指向的索引开头的字符不同则直接可以比较大小，我们不用进行后面的操作了。

如果 p0 以及 p12 指向的索引对应的字符相同，我们需要分情况讨论：

  • 1）假设p12此时指向的是S1，例如 p0 此时指向6，p12此时指向10，那么只需要再向后看一位就一定可以知道排序，由于p0后面一位的字符为第7位以及后面所有的字符，而p12后面一位的字符为第11位以及后面所有的字符，我们知道 7和11的位置都在S12中，而S12的总体排序又是知道的，那么直接判断即可。

  • 2）假设p12此时指向的是S2，例如 p0 此时指向6，p12此时指向11，那么只需要最多再向后看两位就一定可以知道排序，由于p0后面一位的字符为第7位以及后面所有的字符，而p12后面一位的字符为第12位以及后面所有的字符，如果第7位以及第12位字符不同，那么第6位以及第11位的后缀数组的字典序也必就能比较出来，如果还是相同，由于7在S12，而12在S0，不能直接比较，但是再往后看一位，6后面的第二位为8，11后面的第二位为13，8和13的位置都在S12，可以直接比较，那么6和11的顺序也就出来了。

总结一下：

  • 如果p0以及p12指向索引的字符不同，直接出结果

  • 如果p0以及p12指向索引的字符相同

    • p12位置为S1，再向后看一位出结果，加上当前位，也就是最多看2位就能出结果

    • p12位置为S2，最多再向后看两位出结果，加上当前位，也就是最多看3位就能出结果

也就是 merge 中每一步的比较时间都是 O(1) 的

下面还是看上面的具体案例

一开始 3 开头的 跟 2开头的 pk

  • 3开头的上面字符是a

= 2开头的上面字符也是a

所以要再往下比较, 都是a, 又比不出来

再往下

  • 考察5及其后面的整体

  • 和4及其后面的整体

这俩排名在s12里有 ==> 最多三维信息可以搞定merge，只用比三个位置的信息就可以决定3开头跟2开头谁大谁小

这都不是基数排序，就三个位置的值比较一下

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3是一个s0类的下标, 遭遇的是2 s2类的下标

当S0类下标在merge的时候遭遇了S2类下标跟它pk的时候, 往后要比三位

S0 跟 S2下标pk的时候, 最多拿三个位置的数比一下, 就知道怎么merge了, 谁大谁小就出来了

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后面的信息, 3开头的是 2, 2开头的是1, 3开头的没pk过2开头的

2开头的就是所有下标开头的Number0

接下来3开头的跟4开头的pk

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怎么样pk3开头的跟4开头的?

  • 3开头的是s0类型

  • 4开头的是s1类型

当S0类 跟 S1类下标pk的时候, 最多比两个位置的数

3位置是a, 4位置也是a

接下来比4及其后面的整体 和 5及其后面的整体

这俩排名在s12内部的排名是有的

所以S0类 跟 S1类下标pk, 最多比两个位置的数, 可以决定大小

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DC3算法实现

总体流程

首先字符串长度N

  • step1：有一个f()函数 帮我得到S12内部的排名

  • step2：用s12 的信息得到s0内部的排名

    • 使用基数排序: O(N)

  • step3：把S0 跟 S12去merge, 又利用到s12类的信息, 都排出来,时间复杂度: O(N)

step2以及step3的求解过程上面已经说明了，后面就不赘述了

可以看到, 整个流程中成败的关键就是第一步, 后面两个过程都是O(N)的过程

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如何得到S12类的排名

处理流程

要求这个排名一定要是精确的，里面不要有重复值

画下划线的就是s12类

先这么想，怎么决出下面的整体排名

  • 1开头及其后面的所有

  • 2开头及其后面的所有

  • 4开头及其后面的所有

  • 5开头及其后面的所有

  • 7开头及其后面的所有

  • 8开头及其后面的所有

  • 10开头及其后面的所有

  • 11开头及其后面的所有

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先只拿前三维信息做比较，如果此时字符不够3位了，用极小值来填充

  • 1开头前三个字符aab

  • 2开头前三个字符abb

  • 4开头前三个字符bbc

  • 5开头前三个字符bcc

  • 7开头前三个字符cca

  • 8开头前三个字符caa

  • 10开头前三个字符aa0

  • 11开头前三个字符a00

这个例子展示的是：如果我们仅拿3位信息就足以得到严格排名的话, 那岂不爽哉

那么这样的话只需要经过一个O(N)的基数排序就拿到S12了，接下来可以直接去做后面2,3的步骤

现实情况是： 有可能只拿前三位信息它排不出严格的排名

image

我们拿mississippi这个单词来做说明（注：这个是DC3论文中作者的提过的案例）

只拿1,2类信息的前3维信息 能不能得出精确排名呢?答案是不行滴 o(╥﹏╥)o

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这样的话, 我们就没有决出精确排名

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好了，整个算法中最精髓的部分，它来了！！！

生成一个数组:

  • 把S1类整体放在数组左边

    • S1类所对应的排名放数组左边

  • 把S2类全放在数组右边

    • S2类所对应的排名放数组右边

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获取结果

我们把这个数据认为是个字符串数组，递归的调用求它后缀数组的排名

求出来了哪个是第一名?

1554, 3位置是第一名, 对应会原数组中10 它是第一名

下面是2开头的 21554, 对应会原数组中7 它是第二名

接下来是321…, 是原数组第1位置

接下来是3321…, 是原数组第0位置

接下来是4, 是原数组第6位置

接下来是54, 是原数组第5位置

接下来是554, 是原数组第4位置

后缀数组的这个结论求出来以后, 它可以对应回原来我想求这个东西里面的s12类的排名！！！

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结论解释

一开始有一个比较粗糙的排名, 没有得到精确的排名,比如说 有两个3, 两个5

如果你把这个排名的值当做是字符的话, 我这个1不可能在排完字符串之后排名往后掉

相当于我首字母就是1，首字母如果划分出块了, 即便后面怎么摆, 也不会让排名乱掉, 块与块之间排名不会乱掉

为什么要这么摆?这么摆可以把同一块内部的排名搞定!

先看两个相同索引同时落在S1或者同时落在S2的情况

看这个两个3

3: 1开头及其后面的所有

3: 4开头及其后面的所有

分不出来

因为我们只拿了前3位信息出来, 它们彻底相等, 所以区分不出来

接下来, 你需要什么信息?

3: 123 4开头及其后面的所有

3: 456 7开头及其后面的所有

s1类摆在整体左边, s2类摆在整体右边

对于同一组内部, 这么摆, 正好这个结构关系能帮它区分排名

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5: 234 5开头及其后面的所有

5: 567 8开头及其后面的所有

这个例子展示的是, 相同的排名信息落在一组里的情况, 都落在左组或者都落在右组

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那如果相同的信息落在不同组呢？

其实相同的排名即便是跨组, 这么摆, 也能搞出区分来

比如说原始位置为1和5的两个位置，它们在非严格区分排名中都是第3名

看看下一位的信息：

123，下一位为4，在新数组中紧靠着1，假设排名为x

567，下一位为8，在新数组中紧靠着5，假设排名为y

那么现在需要比较 3_x 以及 3_y的大小，这个显然与新数组的后缀树的排名仍然是保持一致的。

那么也就是说无论相同信息落在同一组还是不同组，都能验证上面的结论。

S1及S2交接位置处理

现在还有一个小坑：S1类以及S2类交接的位置相同时如何比较排名

这里如果S1的最后一位本来就补了0，那么S2中的数顺着S1往后一定可以找到不同的3位后缀

如果S1的最后一位实在无法补0，那我们人为给S1补一个000

  • 假设长度 % 3 == 2

S1的最后一位会补0，因此S2中的后缀值一定能够与它分出胜负

比如说长度为11，索引为 0~10，10的3位后缀，后面有两位用0补了

那么索引为2的后缀 与1、4、7 相等时，1、4、7对应的后缀为 4、7、10及后面的数字，这个其实在SA12中都有了，而且值也是正常的，唯一有点差异的是 索引为 10的，假设 num[2] = num[10] = 5，那么2的三个数的后缀位 5xy，x>0，y>0，而10的三个数的后缀位为500，基数排序时已经分出胜负了

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  • 假设长度 % 3 == 0

情况与 长度 % 3 == 2 类似，此时 S1的最后一位会补0，S2中顺着S1至少可以找到一个不同值。

比如长度为9，索引为 0~8，S2前面的值与S1比较逻辑与上面的类似，如果是索引为8和索引为7的3位后缀进行比较，假设在这两个索引上的数字都是5，那么7对应550，8对应500，基数排序后 7 本来就在8的后面。

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