11、工程结构的屈曲稳定性分析

工程结构的屈曲稳定性分析

1. 引言

在测试材料强度时，通常重点关注材料在拉伸时的响应。大多数强度测试是通过测量杆在轴向拉伸载荷作用下的伸长量来进行的。对于均匀且各向同性的材料（特别是金属），通常假设它们在压缩时具有与拉伸时相似的强度特性，因此压缩测试往往不被进行。

尽管胡克定律（具有线性应力 - 应变关系）通常在拉伸和压缩情况下都适用，但压缩载荷常常会导致结构几何形状发生变化，甚至在达到屈服应力之前就可能导致屈曲。接下来将探讨梁、杆、柱和板的屈曲现象以及相关的稳定性概念。

2. 承受压缩载荷的长杆

考虑一根细长杆承受轴向压缩载荷的情况。如果几何形状理想且载荷作用在杆轴上，杆只会因载荷而缩短。然而，如果几何形状不理想，杆可能会弯曲并发生屈曲，最大挠度将出现在跨中位置。

在杆屈曲过程中，由于横向位移，杆沿其长度方向会承受弯矩。在距离杆端为 (x) 的横截面处，弯矩 (M) 可表示为 (M = Py)。结合弯矩 - 曲率关系 (M = EI\frac{d^{2}y}{dx^{2}})，可得到杆位移的控制微分方程：
(\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \frac{P}{EI}y = 0)

其通解为：
(y = A\cos\sqrt{\frac{P}{EI}}x + B\sin\sqrt{\frac{P}{EI}}x)

对于两端简支的杆，边界条件为 (y(0) = y(l) = 0)。通过施加这些条件，可得到 (A = 0) 和 (B\sin\sqrt{\frac{P}{EI}}l = 0)。当 (B = 0) 时，杆保持直线不发生屈曲；当 (\sqrt{\frac{P}