8、常见梁弯曲公式解析

常见梁弯曲公式解析

1. 梁位移的基本微分方程

梁位移 $y$ 的基本微分方程为：$EI\frac{d^4y}{dx^4} = q(x)$ ，其中：
- $E$ 是弹性模量；
- $I$ 是梁横截面的惯性矩；
- $x$ 是轴向尺寸；
- $q(x)$ 是荷载函数。

该方程已针对大量不同的荷载和支撑条件进行了积分求解。

2. 悬臂梁

2.1 左端支撑悬臂梁

在左端支撑的悬臂梁中，固定端处梁的位移 $y$ 和斜率 $\frac{dy}{dx}$ 均为零。

2.1.1 集中端荷载

当左端支撑的悬臂梁在右端承受集中荷载 $P$ 时：
- 剪力 $V$：$V = P \langle x - 0 \rangle^0 + P\ell \langle x - 0 \rangle^{-1} - P \langle x - \ell \rangle^0$
- 弯矩 $M$：$M = P \langle x - 0 \rangle^1 + P\ell \langle x - 0 \rangle^0 - P \langle x - \ell \rangle^1 - 2P\ell$
- 位移 $y$：$y = \frac{P}{EI}[-\frac{\langle x - 0 \rangle^3}{6} - \ell\frac{\langle x - 0 \rangle^2}{2} + \frac{\langle x - \ell \rangle^3}{6} + \ell x^2]$
最大位移 $y_{max} = \frac{P\e