7、利用奇异函数进行梁分析

利用奇异函数进行梁分析

1. 奇异函数的使用

在传统的梁分析中，处理集中载荷时会遇到困难。例如，对于一个内部有集中载荷的简支梁，求解过程需要分别分析载荷两侧的情况，并且解本身需要根据自变量相对于载荷的位置使用两个表达式。而奇异函数可以避免这些困难。

1.1 海维赛德单位阶跃函数

单位阶跃函数 (f(x - a)) 定义为：
[
f(x - a) =
\begin{cases}
0, & x < a \
1, & x \geq a
\end{cases}
]
从图形上看，(f(x - a)) 在 (x = a) 处呈现“阶跃”。但在初等分析中，(f(x - a)) 在 (x = a) 处不连续，因此其导数在 (x = a) 处不存在。不过，若将 (f(x - a)) 视为广义函数，可将其导数定义为狄拉克δ函数 (d(x - a))。

1.2 狄拉克δ函数

该函数有时也被称为“脉冲”函数，定义为：
[
d(x - a) =
\begin{cases}
0, & x \neq a \
1, & x = a
\end{cases}
]
若 (d(x - a)) 是 (f(x - a)) 的导数，则有：
[
f(x - a) = \int_{b}^{x} d(\xi - a)d\xi
]
其中 (b) 为常数。若 (b < a < c)，则：
[
\int_{b}^{c} d(