3、工程数值方法与纳米增强梁在火灾中的屈曲分析

工程数值方法与纳米增强梁在火灾中的屈曲分析

1. 数值求解方法概述

在工程问题的数值求解中，有多种方法可供选择，这些方法各有特点，适用于不同的场景。

1.1 谐波微分求积法（HDQM）

HDQM 是一种将控制微分方程转化为一阶代数方程的数值方法。在给定离散点处，函数关于空间变量的导数可表示为该变量解域内所有离散点处函数值的加权线性和。
- 导数定义 ：
- 一维导数：
- $\frac{d^n f(x,y)}{dx^n}=\sum_{k = 1}^{N_x}A_{ik}^{(n)}f(x_k,y_j)$，其中$n = 1,\cdots,N_x - 1$。
- 二维导数：
- $\frac{d^m f(x,y_j)}{dy^m}=\sum_{l = 1}^{N_y}B_{jl}^{(m)}f(x_i,y_l)$，其中$m = 1,\cdots,N_y - 1$。
- $\frac{\partial^{n + m} f(x,y)}{\partial x^n\partial y^m}=\sum_{k = 1}^{N_x}\sum_{l = 1}^{N_y}A_{ik}^{(n)}B_{jl}^{(m)}f(x_k,y_l)$。
- 关键因素 ：
- 采样网格点选择 ：使用切比雪夫多项式，公式如下：
- $x_i=\cos(\frac{2i - 1}{2N_x}\pi)$，$i = 1,\cdots,N_x$。
- $y_i=\cos(\frac{2i - 1}{2N_y}