字符串里有一类问题经常遇到，就是最长问题。归纳为：最长公共子串、最长公共子序列、最长回文子串、最长重复子串、最长不重复子串问题。这一篇在这里做个总结，给出每个问题的解题思路。
1.最长公共子串
最长公共子串和最长公共子序列非常类似，但是子串要求在原字符串中是连续的。而最长公共子序列则并不要求连续。
方法一：平移法：引用自博客http://blog.youkuaiyun.com/hackbuteer1/article/details/6686931
将字符串s1和s2分别写在两把直尺上面(我依然用s1，s2来表示这两把直尺)，然后将s1固定，s2的头部和s1的尾部对齐，然后逐渐移动直尺s2，比较重叠部分的字符串中的公共子串的长度，直到直尺s2移动到s1的头部。在这个过程中求得的最大长度就是s1、s2最大子串的长度。
下图是求解过程的图示（下图有点错误，应该是将s2从右往左移动），蓝色部分表示重叠的字符串，红色的部分表示重叠部分相同的子串
其中s1="shaohui"，s2="ahui"，最后求得的结果为3。
string MaxSubStr(const string& s1, const string& s2)
{
size_t len1 = s1.size();
size_t len2 = s2.size();
size_t len = len1 + len2;
int maxLen = 0;
int startPos = 0;
for(size_t i = 0; i < len; ++i)
{
int startS1, startS2;
startS1 = startS2 = 0;
if(i < len1)
startS1 = len1 - i;
else
startS2 = i - len1;
int tmpLen = 0;
int idx;
for(idx = 0; (startS1+idx < len1) && (startS2+idx < len2); ++idx)
{
if(s1[startS1+idx] == s2[startS2+idx])
++tmpLen;
else
{
if(tmpLen > maxLen)
{
maxLen = tmpLen;
startPos = startS1+idx-maxLen;
}
tmpLen = 0;
}
}
if(tmpLen > maxLen)
{
maxLen = tmpLen;
startPos = startS1+idx-maxLen;
}
}
string result(s1, startPos, maxLen);
return result;
}其实这是一个序贯决策问题，可以用动态规划来求解。我们采用一个二维矩阵来记录中间的结果。这个二维矩阵怎么构造呢？直接举个例子吧："bab"和"caba"(当然我们现在一眼就可以看出来最长公共子串是"ba"或"ab")
b a b
c 0 0 0
a 0 1 0
b 1 0 1
a 0 1 0
我们看矩阵的斜对角线最长的那个就能找出最长公共子串。
不过在二维矩阵上找最长的由1组成的斜对角线也是件麻烦费时的事，下面改进：当要在矩阵是填1时让它等于其左上角元素加1。
b a b
c 0 0 0
a 0 1 0
b 1 0 2
a 0 2 0
这样矩阵中的最大元素就是 最长公共子串的长度。（两段代码都没有考虑存在重复最大子串，可以用数组保存实现所有的最大子串输出）。
string MaxSubStr(const string& s1, const string& s2)
{
size_t len1 = s1.size();
size_t len2 = s2.size();
int martrix[len1][len2] = {0};
int maxLen = 0;
int startPos = 0;
string result, tmp;
for(int i = 0; i < len1; ++i)
{
for(int j = 0; j < len2; ++j)
{
if(s1[i] == s2[j])
{
if(i == 0 || j == 0)
martrix[i][j] = 1;
else
martrix[i][j] = martrix[i-1][j-1] + 1;
}
else
martrix[i][j] = 0;
if(martrix[i][j] > maxLen)
{
maxLen = martrix[i][j];
startPos = i - maxLen + 1;
}
}
}
return string(s1, startPos, maxLen);
}字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列<i0，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。
考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：
（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；
（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；
（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。
这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。
求解：
引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。
问题的递归式写成：
回溯输出最长公共子序列过程：
<span style="font-size:14px;">string CreateLCS(int** path, const string& str, int m, int n)
{
static string result = "";
if(m == 0 || n == 0)
return "";
if(path[m][n] == 0)
{
CreateLCS(path, str, m-1, n-1);
result += str[m-1];
}
else if(path[m][n] == 1)
CreateLCS(path, str, m-1, n);
else
CreateLCS(path, str, m, n-1);
return result;
}
string LCS(const string& s1, const string& s2)
{
int maxLen = 0;
size_t len1 = s1.size();
size_t len2 = s2.size();
//申请(len2+1)*(len1+1)的二维数组，length存放子序列长度，path存放回溯路径
int **length = new int*[len2+1];
int **path = new int*[len2+1];
for(int i = 0; i < len2+1; ++i)
{
length[i] = new int[len1+1];
path[i] = new int[len1+1];
}
for(int i = 0; i < len1+1; ++i)
length[0][i] = 0;
for(int j = 1; j < len2+1; ++j)
length[j][0] = 0;
for(int i = 1; i < len2+1; ++i)
{
for(int j = 1; j < len1+1; ++j)
{
if(s2[i-1] == s1[j-1])
{
length[i][j] = length[i-1][j-1]+1;
path[i][j] = 0; //回溯到左上角
maxLen = length[i][j] > maxLen ? length[i][j] : maxLen;
}
else if(length[i-1][j] >= length[i][j-1])
{
length[i][j] = length[i-1][j];
path[i][j] = 1; //往左回溯记为1；
}
else
{
length[i][j] = length[i][j-1];
path[i][j] = -1;
}
}
}
cout << "最大公共子序列长度为：" << maxLen << endl;
//打印最大子序列
string LCS = CreateLCS(path, s2, len2, len1);
for(int i = 0; i < len2+1; ++i)
{
delete[] length[i];
delete[] path[i];
}
delete[] *length;
delete[] *path;
return LCS;
}</span>#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
using namespace std;
int ComLen(char* p, char* q)
{
int len = 0;
while(*p && (*p++ == *q++))
++len;
return len;
}
int cmp(const void* a, const void* b)
{
return strcmp(*(char* const*)a, *(char* const*)b);
}
char* LongestReSubStr(char* str, char* result)
{
int len = strlen(str);
char** suffix = new char*[len];
for(int i = 0; i < len; ++i)
suffix[i] = str + i;
qsort(suffix, len, sizeof(char*), cmp);
int maxLen = 0;
int pos = 0;
for(int i = 0; i < len - 1; ++i)
{
int comLen = ComLen(suffix[i], suffix[i+1]);
if(comLen > maxLen)
{
maxLen = comLen;
pos = i;
}
}
strncpy(result, suffix[pos], maxLen);
result[maxLen] = '\0';
delete[] suffix;
return result;
}
int main() {
// your code goes here
char str[] = "banana";
char* result = new char[strlen(str)+1];
char* s = LongestReSubStr(str, result);
cout << s << endl;
delete[] result;
return 0;
}void LNRS(char* str, char* result)
{
if(str == NULL)
return;
int visit[256];
int len = strlen(str);
int maxLen = 0;
int start = 0;
for(int i = 0; i < len; ++i)
{
memset(visit,0,sizeof(visit));
visit[str[i]] = 1;
int j;
for(j = i + 1; j < len; ++j)
{
if(visit[str[j]] == 0)
visit[str[j]] = 1;
else
break;
}
if(j-i > maxLen)
{
maxLen = j - i;
start = i;
}
}
strncpy(result, str+start, maxLen);
result[maxLen] = '\0';
}
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