堆排序详解-优快云博客

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什么是堆？

堆的概念：所有分支结点都大于（小于）其孩子结点的完全二叉树称为大（小）根堆。

因此，大（小）根堆的根结点必定是最大（小）元素。利用简单选择排序的思路，就可以每次从大（小）根堆中选取根结点，使元素序列有序。

思路

堆排序是一种树形选择排序方法，它的特点是将元素序列看成是一个完全二叉树的顺序存储结构，利用堆的性质对元素进行排序。

实现

void heap_sort(RceType R[], int n)
{
    int i;
    //构建初始堆
    for (i=n/2; i>=1; i--)
        sift(R, i, n);
    for (i=n; i>1; i--)
    {
        swap(R, 1, i);
        sift(R, 1, i-1);
    }
}

void sift(RecType R[], int low, int high)
{
    int i = low, j = 2 * i;
    RecType tmp = R[i];
    while (j <= high)
    {
        if (j < high && R[j].key < R[j+1].key)
            j++;
        if (tmp.key < R[j].key)
        {
            R[i] = R[j];
            i = j;
            j = 2 * i;
        }
        else
            break;
    }
    R[i] = tmp;
}

算法分析

时间复杂度

假设元素序列有n个元素，那么元素序列构成的完全二叉树高度h为
$\lceil log_2(n+1) \rceil 或 \lfloor log_2n \rfloor + 1$
高度为h的完全二叉树对根结点进行筛选，则最多需要进行2(h-1)次比较，最多(h+1)次移动（因为比较与移动次数是同一个数量级，且移动次数较多，所以针对比较次数来分析时间复杂度）。

算法分为主要分为两步：

构建初始堆
重建堆

最坏时间复杂度分析

最坏的情况就是构建初始堆的时候，每个分支结点都需要且都进行最大次数的筛选。则对于第i层，某个结点作为根结点的子树的高度为
$(h - i + 1)$
此层结点总数为
$2^{i-1}$

所以构建初始堆的最大比较次数为
$\sum _{i=h-1}^{1}2^{i-1} * 2(h-i+1-1) = \sum _1^{h-1}2^{i} * (h-i) = 4n$
重建堆的最大比较次数为
$\sum _{i=2}^n2 * (\lceil log_2{(i-1)+1} \rceil -1) < 2nlog_2n$
所以堆排序的最大比较总次数(也就是最坏时间复杂度)为
$4n + 2nlog_2n = O(nlog_2n)$
堆排序和简单选择排序一样，其时间性能与初始序列的顺序无关，所以堆排序的最好、最坏和平均时间复杂度都为
$O(nlog_2n)$