蓝桥杯-乘积最大

题目描述

给定 N N N 个整数 A 1 , A 2 , … A N 。 A_1,A_2,…A_N。 A1​,A2​,…AN​。

请你从中选出 K K K 个数,使其乘积最大。

请你求出最大的乘积,由于乘积可能超出整型范围,你只需输出乘积除以 1000000009 的余数。

注意,如果 X < 0 X<0 X<0, 我们定义 X X X 除以 1000000009 的余数是负 ( − X ) (−X) (−X)除以 1000000009 的余数,即:0−((0− $x $)%1000000009)

输入格式

第一行包含两个整数 N N N 和 K 。 K。 K。

以下 N N N 行每行一个整数 A i 。 A_i。 Ai​。

输出格式

输出一个整数,表示答案。

数据范围

1 ≤ K ≤ N ≤ 105 , 1≤K≤N≤105, 1≤K≤N≤105,
− 105 ≤ A i ≤ 105 −105≤Ai≤105 −105≤Ai≤105

输入样例1:

5 3
-100000
-10000
2
100000
10000

输出样例1:

999100009

输入样例2:

5 3
-100000
-100000
-2
-100000
-100000

输出样例2:

-999999829

思路

我们要求的是乘积的值最大

可以先对序列排序,因为序列中有正有负,那么排序后的序列最左边就是最小的负数(如果有负数),也就是绝对值最大的负数,最右边是最大的正数(如果有正数)

考虑到 k k k 存在奇偶,所以我们需要分情况讨论

k = = n k == n k==n :那么答案就是所有值的乘积

k < n 且 k 为 偶 数 k < n且k 为偶数 k<n且k为偶数:乘积最大值必定为正数

  • 如果序列中负数的个数为偶数,那么总能找到成对的负数,使得其答案为正数
  • 如果序列中负数的个数为奇数,那么我们可以只选择偶数个绝对值最大的负数

k < n 且 k 为 奇 数 k < n且k为奇数 k<n且k为奇数

  • 如果序列中全为负数,那么结果必为负数,为了使得答案最大,我们需要选绝对值最小的数
  • 如果序列中至少存在一个正数,那么我们可以先选择最大的那个正数, k k k 减少一个,转换为了 k k k 为偶数的情况

因为如果 k k k为奇数,可以通过先选一个特判来转换为 k k k 为偶数的做法,所以可以同一对 k k k 为偶数进行操作

那么经过分析,可以采用双指针的算法,两个为一对的移动指针来计算每一对的值,因为序列最左边如果有负数就是绝对值最大的负数,序列最右边如果有正数就是绝对值最大的正数,所以两个指针分别头和尾来一对一对移动,判断哪一对的值最大

时间复杂度

O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)

C++ 代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 100010, mod = 1000000009;
int a[N];
int n, k;

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    
    for(int i = 0;i < n;i ++) scanf("%d",&a[i]);
    sort(a, a + n);
    
    int res = 1;
    int l = 0, r = n - 1;
    int sign = 1;
    if(k & 1) {
        res = a[r --];
        if(res < 0) sign = -1;
        k --;
    }
    while(k) {
        LL x = (LL)a[l] * a[l + 1], y = (LL)a[r - 1] * a[r];
        if(x * sign > y * sign) {
            res = x % mod * res % mod;
            l += 2;
        }else {
            res = y % mod * res % mod;
            r -= 2;
        }
        k -= 2;
    }
    
    printf("%d\n",res);
    return 0;
}

练习题:乘积最大

给定 N 个整数 A1,A2,…AN。

请你从中选出 K 个数,使其乘积最大。

请你求出最大的乘积,由于乘积可能超出整型范围,你只需输出乘积除以 1000000009 的余数。

注意,如果 X<0, 我们定义 X 除以 1000000009 的余数是负(−X)除以 1000000009 的余数,即:0−((0−x)%1000000009)

输入格式

第一行包含两个整数 N 和 K。

以下 N 行每行一个整数 Ai。

输出格式

输出一个整数,表示答案。

数据范围

1≤K≤N≤105,
−105≤Ai≤105

输入样例1:

5 3
-100000
-10000
2
100000
10000

输出样例1:

999100009

输入样例2:

5 3
-100000
-100000
-2
-100000
-100000

输出样例2:


                
### 蓝桥杯竞赛中的乘积最大问题 对于蓝桥杯竞赛中涉及的乘积最大问题,在处理此类题目时,通常需要考虑正负数的影响以及如何选取能够得到最大乘积的子序列。针对给定的一系列整数,目标是从这些数字中挑选出特定数量的元素使其乘积最大化。 考虑到可能存在负数的情况,解决方案不仅限于简单地选择绝对值最大的几个数值。当所选元素的数量`K`为奇数时,如果数组中有足够的负数,则可能通过组合最小的两个负数来获得较大的正值贡献[^3]。具体来说: - 需要先对整个列表按照绝对值大小降序排列; - 如果`K`是偶数,那么直接取前`K`个数相即可; - 若`K`为奇数且存在至少一对负数,则比较最末尾的一个大正数与开头两小负数之积哪个更大,以此决定最终的选择方案[^4]。 下面给出一段基于上述逻辑编写的C++代码片段用于解决此类型的问题: ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; bool cmp(int a, int b){ return abs(a)>abs(b); } int main(){ int n,k; cin>>n>>k; vector<int> nums(n); for(auto& num : nums) cin >> num; sort(nums.begin(),nums.end(),cmp); long long res = 1LL; if(k%2==0 || nums[k-1]>=0){ // k is even or all selected are non-negative for(int i=0;i<k;++i) res=(res*nums[i])%(1000000009); } else{ // k is odd and there's at least one negative number among the first K elements bool flag=false; for(int i=k-1,j=n-1;i>=0&&j>i;--i,--j){ if(abs(1LL*nums[j]*nums[j-1])>abs(1LL*nums[i])){ res=res*(long long)(nums[j]*(long long)nums[j-1]); j-=2; flag=true; break; } } if(!flag)//if no swap happened then just multiply as usual. for(int i=0;i<k;++i) res=(res*nums[i])%(1000000009); else//otherwise adjust remaining multiplications after swapping two smallest negatives with largest positives available outside top-K range. for(int i=j+k-(j-k+1)<k?j+k-(j-k+1):k;i<k;++i) res=(res*nums[i])%(1000000009); } cout<<((res<0)?(-res):(res))%1000000009<<"\n"; } ``` 该程序首先读入待处理的数据长度`n`和所需选出的最大乘积项数目`k`,接着接收一系列整数作为候选集。之后利用自定义比较函数`cmp()`完成按绝对值排序操作,并依据之前提到的原则计算结果并输出。
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