NKOJ 3967 （SCOI 2007）最大土地面积（旋转卡壳）

P3967【SCOI2007】最大土地面积

问题描述

在某块平面土地上有N个点，你可以选择其中的任意四个点，将这片土地围起来，当然，你希望这四个点围成的多边形面积最大。

输入格式

在某块平面土地上有N个点，你可以选择其中的任意四个点，将这片土地围起来，当然，你希望这四个点围成的多边形面积最大。

输出格式

最大的多边形面积，答案精确到小数点后3位。

样例输入

5
0 0
1 0
1 1
0 1
0.5 0.5

样例输出

1.000

提示

n<=2000, |x|,|y|<=100000

---

首先，面积最大的点一定在凸包上，因此先求出凸包，然后在凸包上搞。
求四边形面积不方便，容易想到拆成两个三角形，因此可以枚举对角线，然后分别求出对角线两侧的最大三角形面积。这里可以在凸包上二分。
但是注意到当对角线一端固定，另一端向一个方向移动时，最大三角形面积的位置也是单调的。因为相当于是用平行于当前对角线的直线去与凸包求切点，所以可以旋转卡壳，跟着转就行了。最好直接用面积判断是否需要移动。
总复杂度$O(n^2)$

---

代码：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define N 3005
using namespace std;
double eps=1e-9;
struct node
{
    double x,y;
    bool operator<(const node &b)const
    {
        if(x==b.x)return y>b.y;
        return x<b.x;
    }
    double operator*(const node &b)const
    {return x*b.y-y*b.x;}
    node operator-(const node &b)const
    {return (node){x-b.x,y-b.y};}
}P[N],S[N];
int n,top;
double Lmax[N],Rmax[N],ans;
int main()
{
    int i,j,k;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;i++)scanf("%lf%lf",&P[i].x,&P[i].y);
    sort(P+1,P+n+1);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        while(top>1&&(S[top-1]-S[top])*(S[top-1]-P[i])<eps)top--;
        S[++top]=P[i];
    }
    k=--top;
    for(i=n;i>=1;i--)
    {
        while(top>k+1&&(S[top-1]-S[top])*(S[top-1]-P[i])<eps)top--;
        S[++top]=P[i];
    }
    for(i=1;i<top;i++)
    {
        k=i+1;
        for(j=i+2;j<top-1;j++)
        {
            while(fabs((S[k]-S[j])*(S[k]-S[i]))<fabs((S[k+1]-S[j])*(S[k+1]-S[i])))k++;
            Lmax[j]=fabs((S[k]-S[j])*(S[k]-S[i]));
        }
        k=top-1;
        for(j=top-2;j>i+1;j--)
        {
            while(fabs((S[k]-S[i])*(S[k]-S[j]))<fabs((S[k-1]-S[i])*(S[k-1]-S[j])))k--;
            Rmax[j]=fabs((S[k]-S[i])*(S[k]-S[j]));
        }
        for(j=i+2;j<top-1;j++)ans=max(ans,Lmax[j]+Rmax[j]);
    }
    printf("%.3lf",0.5*ans);
}