Nice Patterns Strike Back(位运算dp+大数矩阵快速幂)

最新推荐文章于 2017-11-25 23:09:30 发布

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#矩阵快速幂

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本文介绍了一种使用矩阵快速幂的方法来解决一个特定的排列组合问题：在一个N*M的区域中放置不同颜色的瓷砖，确保任意2*2区域内颜色不完全相同，通过位运算和矩阵快速幂求解最多可能的排列方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：有一个N*M的yard，有白色和黑色的两种瓷砖。2*2的格子内不允许都是同样的颜色。问最多能有多少种不同的方案。其中M最大才5，可以用位运算枚举每种情况。但是N太大了，经过和darkdream的讨论，能用矩阵快速幂解决。先把初始矩阵状态初始化，然后再进行矩阵快速幂。最后求每个状态之和即可。矩阵[n1,m1]*[n2,m2]要求m1==n2，求得的结果是[n1,m2]

#include<limits>
#include<queue>
#include<vector>
#include<list>
#include<map>
#include<set>
#include<deque>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<numeric>
#include<utility>
#include<sstream>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<ctime>

#define LL __int64
#define eps 1e-8
#define pi acos(-1)
#define INF 0x7fffffff
#define delta 0.98 //模拟退火递增变量
using namespace std;
int m,p,t;
char s[110];
int dp[100];
int n[150];
struct node{
	int a[40][40];
};
node d;
bool find(int x,int y){
	int i;
	for (i=0;i<m-1;i++){
		if ( (bool)(x&(1<<i))==(bool)(x&(1<<(i+1))) && (x & (1<<i))==(y & (1<<i)) && (x & (1<<(i+1)))==(y & (1<<(i+1))))
			return false;
	}
	return true;
}
void mul(node k1){
	int i,j;
	int k[50];
	for (i=0;i<(1<<m);i++){
		k[i]=dp[i];
		dp[i]=0;
	}
	for (i=0;i<(1<<m);i++){
		for (j=0;j<(1<<m);j++)
			dp[i]=(dp[i]+k[j]*k1.a[i][j])%p;
	}
	return;
}
node mul1(node k1,node k2){
	node pp;
	int i,j,k;
	memset(pp.a,0,sizeof(pp.a));
	for (i=0;i<(1<<m);i++){
		for (j=0;j<(1<<m);j++)
			for (k=0;k<(1<<m);k++)
				pp.a[i][j]=(pp.a[i][j]+k1.a[i][k]*k2.a[k][j])%p;
	}
	return pp;
}
void div2(){
	int i;
	int g=0;
	for (i=0;i<=t;i++){
		g=g*10+n[i];
		n[i]=g/2;
		g%=2; 
	}
	if (n[0]==0){
		for (i=1;i<=t;i++)
			n[i-1]=n[i];
		t--;
	}
}
void ksm(){
	while (t!=-1){
		if (n[t] & 1)
			mul(d);
		div2();
		d=mul1(d,d);
	}
	return;
}
int main(){
	int i,j;
	memset(d.a,0,sizeof(d.a));
	freopen("nice.in","r",stdin);
	freopen("nice.out","w",stdout);
	scanf("%s %d %d",&s,&m,&p);
	for (i=0;i<(1<<m);i++)
		for (j=0;j<(1<<m);j++)
			if (find(i,j)) d.a[i][j]=d.a[j][i]=1;
	int l=strlen(s);
	t=-1; 
	for (i=0;i<l;i++)
		n[++t]=s[i]-'0';
	if (n[t]==0){
		n[t]=9;
		int gg=t-1;
		while (n[gg]==0){
			n[gg]=9;
			gg--;
		}
		n[gg]--;
	}else n[t]--;
	if (n[0]==0){
		for (i=1;i<=t;i++)
			n[i-1]=n[i];
		t--;
	}
	for (i=0;i<(1<<m);i++)
		dp[i]=1;
	ksm();
	int ans=0;
	for (i=0;i<(1<<m);i++)
		ans=(ans+dp[i])%p;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}