算法笔记—背包问题_背包问题只能用一次怎么办-优快云博客

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这篇博客介绍了如何使用动态规划解决01背包、完全背包、多重背包和分组背包问题。通过代码示例展示了不同背包问题的动态规划求解策略，包括二维数组优化和一维数组优化，以及如何处理物品数量有限制的情况。动态规划是解决这类问题的关键，通过状态转移方程和滚动数组等技巧可以高效地找到最优解。

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背包问题

背包问题

背包问题

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01背包问题

在这里插入图片描述
01背包问题限制了每件物品只能用一次，我们可以考虑从前 $i$ 个物品中选，总体积不超过 $j$ 的物品的价值最大值。当我们每次考虑放一件物品时，价值最大无非是放或者不放这件物品；当不放这件物品时，价值最大等价于从前 $i - 1$ 个物品中选，总体积不超过 $j$ 的价值最大值；当我们放这件物品时，等价于从前 $i$ 个物品中选，总体积不超过 $j - v_i$ 的价值最大值加上 $w_i$ ，而一旦我们得到了 $f [i, j]$ ，即前 $i$ 个物品中选，总体积不超过 $j$ 的物品的价值最大值，其不会发生变化，所代表的就是所有集合中的最大值；即到达了这个状态，不会发生改变，且与之前的状态无关，可以用马尔可夫链来理解，此即动态规划。
二维写法

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 10010;

int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for(int j = 1; j <= m; j ++)
    {
        for(int i = 1; i <= n; i ++)
        {
            if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
            else f[i][j] = f[i - 1][j];
        }
    }
    
    cout << f[n][m] << endl;
}

一维优化：
我们观察得到 $f [i, j]$ 只与 $f [i - 1, j]$ 有关，我们只需要用到前一时刻的状态，因此可以使用滚动数组将二维变成一维，但要注意在更新时不能使用已经更新过的状态去更新，因此我们在优化时，将体积从大到小枚举，防止从小到大枚举时出现重复更新的情况

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 10010;

int v[N], w[N];
int f[N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for(int j = m; j >= v[i]; j --)
        {
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    
    cout << f[m] << endl;
}

完全背包问题

在这里插入图片描述

完全背包问题中每个物品可以用无限多次，用过的物品还可以再用，我们考虑01背包问题中防止重复更新的操作就是在避免使用过的物品重复使用，因此我们将其改为从小到大枚举，正好对应于重复使用物品。

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int f[N];
int v[N], w[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for(int j = v[i]; j <= m; j ++) f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
    }
    
    cout << f[m] << endl;
}

多重背包问题

在这里插入图片描述

多重背包问题是限制第 $i$ 种物品最多有 $s_i$ 件，我们可以将 $s_i$ 个物品看成独立的个体，问题就简化成了 $N S$ 个物品的01背包问题，此时的时间复杂度为 $O (N S M)$ 。因此当数据范围较大时我们采取二进制优化，我们将 $s_i$ 用二进制拆分，变成 $l o g s$ 个数字的组合，时间复杂度可降为 $O (N M l o g S)$
在这里插入图片描述

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 250000;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    int cnt = 0;
    for(int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        int k = 1;
        
        //二进制拆分
        while(k <= c)
        {
            cnt ++;
            v[cnt] = k * a;
            w[cnt] = k * b;
            c -= k;
            k *= 2;
        }
        
        if(c)
        {
            cnt ++;
            v[cnt] = a * c;
            w[cnt] = b * c;
        }
    }
    
    n = cnt;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for(int j = m; j >= v[i]; j --) f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
    }
    
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}

分组背包问题

在这里插入图片描述

分组背包问题是有若干组物品，每一组中只能选一个物品。因此我们考虑从前 $i$ 个物品中选，总体积不超过 $j$ 的所有选法的最大值。

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 110;

int s[N], v[N][N], w[N][N];
int n, m;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        cin >> s[i];
        for(int j = 1; j <= s[i]; j ++)
        {
            cin >> v[i][j] >> w[i][j];
        }
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j ++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            for(int k = 1; k <= s[i]; k ++)
            {
                if(j >= v[i][k]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k]);
            }
        }
    }
    
    cout << f[n][m] << endl;
    
    return 0;
}