DDA（数值微分）算法画直线(三)

最新推荐文章于 2024-10-09 23:45:52 发布

莫_问

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分类专栏：菜鸟也学计算机图形学

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2 直线

数学上，理想的直线是由无数个点构成的集合，没有宽度。计算机绘制直线是在显示器所给定的有限个像素组成的矩阵中，确定最佳逼近该直线的一组像素，并且按扫描线顺序，对这些像素进行写操作，实现显示器绘制直线，即通常所说的直线的扫描转换，或称直线光栅化。由于一个图形中可能包含成千上万条直线，所以要求绘制直线的算法应尽可能地快。本节介绍一个像素宽直线的常用算法：数值微分法（DDA）、中点画线法、Bresenham 算法。

2.2.1 DDA（数值微分）算法

(1) DDA算法原理：

问题：如图1-1所示，已知过端点P₀(x_0, y₀) ，P₁ ( x₁, y₁)的直线段为P₀P₁，则直线斜率为k=( y₁- y₀)/ ( x₁- x₀)，要在输出设备上显示该直线段，我们需要计算出经过该直线段P₀P₁上所有像素点的集合。

根据几何知识，我们只需要将x从左端点x₀开始，向右端点x₁步进，步长=1（个像素），将x代入直线方程 y=kx+B 计算出相应的坐标即可；

这里有一个问题那就是，我们x的取值是离散的，但是计算出来的y值不一定是整数，所以需要我们对y进行四舍五入，像素点 [x, round（y）] 作为当前点的坐标。

(2) 代码实现：

根据上面的分析，我们开始编写代码，首先我们在the_application类中增加四舍五入取整函数

　　//四舍五入为整数

int Round(float f)

{

return int(f+0.5);

}

在直线的斜截式方程中，我们知道k=( y₁- y₀)/ ( x₁- x₀)，但是我们还缺少B，这里我们还需要从直线的两点式方程中推导出B的值。下面我们一起推导下，以帮助大家熟悉下还给数学老师的知识：

(y - y₀)/( y₁- y₀)=(x- x₀)/( x₁- x₀)　

y ( x₁- x₀)= (x- x₀) ( y₁- y₀)+y₀( x₁- x₀)

y ( x₁- x₀)= ( y₁- y₀)x-( y₁- y₀) x₀+y₀( x₁- x₀)

y ( x₁- x₀)= ( y₁- y₀)x +y₀ x₁- y₁ x₀

因此直线截矩B=( y₀ x₁- y₁ x₀)/ ( x₁- x₀)，k=( y₁- y₀)/ ( x₁- x₀)，实现数值微分法画直线的代码如下：

//该算法仅仅适应于|k|<=1,传递参数时，必须x0<=x1
void DDALine(int x0,int y0,int x1,int y1,COLORREF color)    
{ 
	float y, k, b,dx;
	dx = x1-x0;  

	//计算直线斜率
	k=(y1-y0)/dx;

	//计算B
	b= (y0*x1-y1*x0)/dx;         

	for (intx=x0;x<=x1;x++)
	{
		DrawPixel(x,Round(y),color);
		y=k*x+b;
	}
}

(3) 代码优化：

我们回过头来看，在我们的代码中存在一次乘法运算，大家都知道乘法指令是比较占用cpu资源，当系统需要渲染大量的直线段时，造成的效率低下是无法估算的。

我们考虑下看能不能优化掉该条乘法指令，由于直线方程是线性的，可以考虑用增量方式来优化，即当x每递增1，y递增k（即直线斜率），数学推导如下：

y_i+1= k (x_i+1)+B

= k x_i+B+ k

= y_i+ k

按照我们的分析，我们经过优化后DDALine函数，代码如下：

//该算法仅仅适应于|k|<=1,传递参数时，必须x0<=x1
void DDALine(int x0,int y0,int x1,int y1,COLORREF color)    
{ 
	float y, k, dx;

	//计算直线斜率
	dx = x1-x0;  
	k=(y1-y0)/dx; 

	y=y0; 
	for (int x=x0;x<=x1;x++)
	{
		DrawPixel(x,Round(y),color);
		y+=k;
	}
}

(4) 算法分析：

根据上面的理论分析，我们知道x每递增一个像素，y递增k个像素。

当|k|>1时，x是按1步进的，因此x在整数范围内时连续，但是y将不再连续，这样导致我们画出来的直线就成了虚线，如下图所示：