素数筛法---埃氏筛及欧拉筛

最新推荐文章于 2024-12-20 06:37:01 发布

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本文详细介绍了两种常见的素数筛法——埃氏筛和欧拉筛。埃氏筛的时间复杂度为O(nloglogn)，通过从2开始筛掉所有素数的倍数来找出素数。而欧拉筛则利用每个数的最小素因数，避免了重复筛除，提高了效率，时间复杂度为O(n)。

前言

在做题中会经常遇到有关素数的问题，整理一下学过的两种素数筛法。

埃氏筛

时间复杂度：O(nloglogn)
我们知道一个素数的倍数肯定是一个合数，一个合数可以由多个素数相乘得到，所以可以从2开始把2的倍数筛一遍，找到下个素数在筛一遍。筛完后素数的倍数都被筛掉了，剩下的就是素数。
代码如下：

const int N =1e5;
int prime[N];
bool vis[N];
int Prime(int n)
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    int cnt =0;
    for(int i=2; i<n; i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[cnt++] =i;
            for(int j=i*i; j<n; j+=i)//这里写成i*i有点小小的优化,2~(i-1)中的素数在前面的循环过程中已经筛过了如2*i,3*i，所以可以从i*i继续筛
            {
                vis[j] =1;
            }
        }
    }
    return cnt;
}

但我们可以发现30 =2 *15，30 =5 *6在后续的筛选过程中会重复筛除前面已经筛选过的，因此引入了欧拉筛。

欧拉筛

每个数都有一个最小素因数，利用这个因数去筛除每一个合数。
时间复杂度O(n)

const int N =3e5;
bool vis[N];
int prime[N];

int Prime(int n)
{
    int cnt =0;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=2;i<n;i++)
    {
        if(!vis[i])
            prime[cnt++] =i;
        for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<n;j++)
        {
            vis[i*prime[j]] =1;
            if(i%prime[j]==0)//每个数只筛除一次，如果i对prime[j]取余为零，那么i*prime[j]的最小因数已经存在，不需要重复计算。
                break;
        }
    }
    return cnt;
}