随机森林与treeBoost

RandomForest

随机森林，指的是利用多棵树对样本进行训练并预测的一种分类器。简单来说，随机森林利用随机的方式将许多决策树组合成一个森林，每个决策树在分类的时候投票决定测试样本的最终类别
随机森林主要包括4个部分：随机选择样本；随机选择特征；构建决策树；随机森林投票分类。

1.随机选择样本

给定一个训练样本集，数量为N，我们使用有放回采样到N个样本，构成一个新的训练集。注意这里是有放回的采样，所以会采样到重复的样本。详细来说，就是采样N次，每次采样一个，放回，继续采样。即得到了N个样本。
然后我们把这个样本集作为训练集，进入下面的一步。

2. 随机选择特征

在构建决策树的时候，我们前面已经讲过如何在一个节点上，计算所有特征的Information Gain（ID3） 或者 Gain Ratio（C4.5），然后选择一个最大增益的特征作为划分下一个子节点的走向。
但是，在随机森林中，我们不计算所有特征的增益，而是从总量为M的特征向量中，随机选择m个特征，其中m可以等于sqrt(M)（或1/2sqrt(M),2sqrt(M)），然后计算m个特征的增益，选择最优特征（属性）。注意，这里的随机选择特征是无放回的选择！

所以，随机森林中包含两个随机的过程：随机选择样本，随机选择特征。

3. 构建决策树

有了上面随机产生的样本集，我们就可以使用一般决策树的构建方法，得到一棵分类（或者预测）的决策树。需要注意的是，在计算节点最优分类特征的时候，我们要使用上面的随机选择特征方法。而选择特征的标准可以是我们常见的Information Gain（ID3） 或者 Gain Ratio（C4.5）。

4. 随机森林投票分类

通过上面的三步走，我们可以得到一棵决策树，我们可以重复这样的过程H次，就得到了H棵决策树。然后来了一个测试样本，我们就可以用每一棵决策树都对它分类一遍，得到了H个分类结果。这时，我们可以使用简单的投票机制，或者该测试样本的最终分类结果。

Gradient Boost Decision Tree:

原始的Boost算法是在算法开始的时候，为每一个样本赋上一个权重值，初始的时候，大家都是一样重要的。在每一步训练中得到的模型，会使得数据点的估计有对有错，我们就在每一步结束后，增加分错的点的权重，减少分对的点的权重，这样使得某些点如果老是被分错，那么就会被“严重关注”，也就被赋上一个很高的权重。然后等进行了N次迭代（由用户指定），将会得到N个简单的分类器（basic learner），然后我们将它们组合起来（比如说可以对它们进行加权、或者让它们进行投票等），得到一个最终的模型。

而Gradient Boost与传统的Boost的区别是，每一次的计算是为了减少上一次的残差(residual)，而为了消除残差，我们可以在残差减少的梯度(Gradient)方向上建立一个新的模型。所以说，在Gradient Boost中，每个新的模型的简历是为了使得之前模型的残差往梯度方向减少，与传统Boost对正确、错误的样本进行加权有着很大的区别。

在分类问题中，有一个很重要的内容叫做Multi-Class Logistic，也就是多分类的Logistic问题，它适用于那些类别数>2的问题，并且在分类结果中，样本x不是一定只属于某一个类可以得到样本x分别属于多个类的概率（也可以说样本x的估计y符合某一个几何分布），这实际上是属于Generalized Linear Model中讨论的内容，这里就先不谈了，以后有机会再用一个专门的章节去做吧。这里就用一个结论：如果一个分类问题符合几何分布，那么就可以用Logistic变换来进行之后的运算。

假设对于一个样本x，它可能属于K个分类，其估计值分别为F1(x)…FK(x)，Logistic变换如下，logistic变换是一个平滑且将数据规范化（使得向量的长度为1）的过程，结果为属于类别k的概率pk(x)，

对于Logistic变换后的结果，损失函数为：

image其中，yk为输入的样本数据的估计值，当一个样本x属于类别k时，yk = 1，否则yk = 0。

将Logistic变换的式子带入损失函数，并且对其求导，可以得到损失函数的梯度：

image上面说的比较抽象，下面举个例子：

假设输入数据x可能属于5个分类（分别为1,2,3,4,5），训练数据中，x属于类别3，则y = (0, 0, 1, 0, 0)，假设模型估计得到的F(x) = (0, 0.3, 0.6, 0, 0)，则经过Logistic变换后的数据p(x) = (0.16,0.21,0.29,0.16,0.16)，y – p得到梯度g：(-0.16, -0.21, 0.71, -0.16, -0.16)。观察这里可以得到一个比较有意思的结论：

假设gk为样本当某一维（某一个分类）上的梯度:

gk>0时，越大表示其在这一维上的概率p(x)越应该提高，比如说上面的第三维的概率为0.29，就应该提高，属于应该往“正确的方向”前进

越小表示这个估计越“准确”

gk<0时，越小，负得越多表示在这一维上的概率应该降低，比如说第二维0.21就应该得到降低。属于应该朝着“错误的反方向”前进

越大，负得越少表示这个估计越“不错误 ”

总的来说，对于一个样本，最理想的梯度是越接近0的梯度。所以，我们要能够让函数的估计值能够使得梯度往反方向移动（>0的维度上，往负方向移动，<0的维度上，往正方向移动）最终使得梯度尽量=0），并且该算法在会严重关注那些梯度比较大的样本，跟Boost的意思类似。

得到梯度之后，就是如何让梯度减少了。这里是用的一个迭代+决策树的方法，当初始化的时候，随便给出一个估计函数F(x)（可以让F(x)是一个随机的值，也可以让F(x)=0），然后之后每迭代一步就根据当前每一个样本的梯度的情况，建立一棵决策树。就让函数往梯度的反方向前进，最终使得迭代N步后，梯度越小。

这里建立的决策树和普通的决策树不太一样，首先，这个决策树是一个叶子节点数J固定的，当生成了J个节点后，就不再生成新的节点了。

算法的流程如下:（参考自treeBoost论文）

随机森林

1： 表示给定一个初始值

2： 表示建立M棵决策树（迭代M次）

3： 表示对函数估计值F(x)进行Logistic变换

4： 表示对于K个分类进行下面的操作（其实这个for循环也可以理解为向量的操作，每一个样本点xi都对应了K种可能的分类yi，所以yi, F(xi), p(xi)都是一个K维的向量，这样或许容易理解一点）

5：表示求得残差减少的梯度方向

6： 表示根据每一个样本点x，与其残差减少的梯度方向，得到一棵由J个叶子节点组成的决策树

7：为当决策树建立完成后，通过这个公式，可以得到每一个叶子节点的增益（这个增益在预测的时候用的）

每个增益的组成其实也是一个K维的向量，表示如果在决策树预测的过程中，如果某一个样本点掉入了这个叶子节点，则其对应的K个分类的值是多少。比如说，GBDT得到了三棵决策树，一个样本点在预测的时候，也会掉入3个叶子节点上，其增益分别为（假设为3分类的问题）：
(0.5, 0.8, 0.1), (0.2, 0.6, 0.3), (0.4, 0.3, 0.3)，那么这样最终得到的分类为第二个，因为选择分类2的决策树是最多的。

8： 将当前得到的决策树与之前的那些决策树合并起来