详解有向图最长链问题

作者以此文向作者详细的讲解有向图的最长链问题。

假设有这么一个图。

要求图中的最长链。（长度为经过的点数，重复只算一次，点、边可以重合）

经过观察，我们发现最长链是这条链。

接下来我们发现，同一个强连通分量中的点最好都选上，如下图。

走 4 -> 8 -> 9 -> 4 这个环一定比不走更优，因为这是个强连通分量，强连通分量内部可以互相到达，就是说进入和出去的点可以任意选，且把所有点都走了并不会影响接下来的行动。因此我们直接把每个强连通分量缩点，如果进入强连通分量中的一个点，就把整个强连通分量都走完。

我们看所点后的图。

我们把每个强连通分量存一个它里面的点数，如下图。

接下来原图变成了一个拓扑图，直接在上面跑拓扑排序最长链即可。

具体来说，每个缩玩点后的点记录一个 $f_u$，表示终点是这个点的最长链，初始化 $f_u=1$，转移 $f_j=f_u+1((u,j)\in E)$，其中 $E$ 为边集。

其实不需要真的拓扑排序，基于 $Tarjan$ 算法 $dfs$ 的特性，强连通分量本身就满足拓扑序的逆序。所以直接从 1 开始依次遍历转移即可。

于是这个问题得以解决。