洛谷-2260 [清华集训2012]模积和

最新推荐文章于 2025-08-05 17:33:44 发布

原创最新推荐文章于 2025-08-05 17:33:44 发布 · 145 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

算法题专栏收录该内容

310 篇文章

订阅专栏

本文深入探讨了一种复杂的模运算求和算法，该算法旨在解决特定数学问题，即求解模19940417下特定形式的双重求和表达式。通过巧妙的数学转换和高效的代码实现，文章提供了一个清晰的解决方案，适用于不同规模的数据输入，从简单的个位数到十亿级别的数值。

题目描述
求
$∑i=1n∑j=1m(n&VeryThinSpace;mod&VeryThinSpace;i)×(m&VeryThinSpace;mod&VeryThinSpace;j),i≠j\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} (n \bmod i) \times (m \bmod j), i \neq j$
mod 19940417 的值
输入格式
两个整数n m
输出格式
答案 mod 19940417

输入输出样例
输入 #1 复制
3 4

输出 #1 复制
1

输入 #2 复制
123456 654321

输出 #2 复制
116430

说明/提示
30%: n,m <= 1000
60%: n,m <= 10^6
100% n,m <= 10^9

解释： $ans=(∑inn&VeryThinSpace;mod&VeryThinSpace;i)∗(∑jnn&VeryThinSpace;mod&VeryThinSpace;j)−∑imin⁡(n,m)(n&VeryThinSpace;mod&VeryThinSpace;i)(n&VeryThinSpace;mod&VeryThinSpace;j)，n&VeryThinSpace;mod&VeryThinSpace;ians=(\sum_i^n n\bmod i)*(\sum_j^n n\bmod j)-\sum_i^{\min(n,m)}(n\bmod i)(n\bmod j)，n\bmod i$ 拆成 $n−⌊ni⌋∗in-\lfloor\frac{n}{i}\rfloor*i$ ,再分块搞一下就OK

#include<iostream>
#define mod 19940417
#define  ll long long
#define inv2 9970209
#define inv6 3323403
using namespace std;
ll pow(ll a,ll b){
	ll ret=1%mod;
	while(b){
		if(b&1) ret=ret*a%mod;
		a=a*a%mod;b>>=1;
	}
}
ll f(ll x){
	return (1+x)%mod*x%mod*inv2%mod;
}
ll g(ll x){
	return x%mod*(x+1)%mod*(2*x+1)%mod*inv6%mod;
}
ll cal(ll n){
	ll ret=n%mod*n%mod;
	for(int i=1,j;i<=n;i=j+1){
		j=n/(n/i);
		ret-=(n/i)*(f(j)-f(i-1))%mod;
		ret%=mod;ret+=mod;ret%=mod;
	}
	return ret;
}
ll ok(ll n,ll m){
	ll ret=n%mod*m%mod*min(n,m)%mod;
	for(int i=1,j;i<=min(n,m);i=j+1){
		j=min(n/(n/i),m/(m/i));
		ret-=n%mod*(m/i)%mod*(f(j)-f(i-1))%mod;ret%=mod;ret+=mod;ret%=mod;
		ret-=m%mod*(n/i)%mod*(f(j)-f(i-1))%mod;ret%=mod;ret+=mod;ret%=mod;
		ret+=(n/i)%mod*(m/i)%mod*(g(j)-g(i-1))%mod;ret%=mod;
	}
	return ret;
}
ll n,m;
int main(){
	cin>>n>>m;
	ll ret=cal(n)*cal(m)%mod-ok(n,m)%mod;ret%=mod;ret+=mod;ret%=mod;
	cout<<ret<<endl;
	return 0;
}