洛谷P2260 [清华集训2012]模积和（BZOJ2956）

最新推荐文章于 2021-06-20 15:11:54 发布

forezxl

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分类专栏：洛谷 BZOJ 其他---技巧题/数学题/STL 蒟蒻zxl的Blog专栏文章标签：洛谷 BZOJ 数学题

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推式子：

\sum i = 1 n \sum j = 1 m (n m o d i) \times (m m o d j) (i \neq j)

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(n\ mod\ i)\times(m\ mod\ j)(i\not=j)$

\sum i = 1 n (n m o d i) \times \sum j = 1 m (m m o d j) - \sum i = 1 m i n (n, m) (n m o d i) \times (m m o d i)

$\sum_{i=1}^n(n\ mod\ i)\times\sum_{j=1}^m(m\ mod\ j)-\sum_{i=1}^{min(n,m)}(n\ mod\ i)\times(m\ mod\ i)$

\sum i = 1 n (n - i ⌊ n i ⌋) \sum j = 1 m (m - j ⌊ m j ⌋) - \sum i = 1 m i n (n, m) (n - i ⌊ n i ⌋) (m - i ⌊ m i ⌋)

$\sum_{i=1}^{n}(n-i\lfloor\frac ni\rfloor)\sum_{j=1}^{m}(m-j\lfloor\frac mj\rfloor)-\sum_{i=1}^{min(n,m)}(n-i\lfloor\frac ni\rfloor)(m-i\lfloor\frac mi\rfloor)$

\sum i = 1 n (n - i ⌊ n i ⌋) \sum j = 1 m (m - j ⌊ m j ⌋) - \sum i = 1 m i n (n, m) (n m + ⌊ n i ⌋ ⌊ m i ⌋ i 2 - (m ⌊ n i ⌋ + n ⌊ m i ⌋) i)

$\sum_{i=1}^{n}(n-i\lfloor\frac ni\rfloor)\sum_{j=1}^{m}(m-j\lfloor\frac mj\rfloor)-\sum_{i=1}^{min(n,m)}(nm+\lfloor\frac ni\rfloor \lfloor\frac mi\rfloor i^2-(m\lfloor\frac ni\rfloor+n\lfloor\frac mi\rfloor)i)$

减号前面的直接像余数之和一样搞一搞，后面的除法分块算一下就好了。

有一个公式： $\sum_{i=1}^n i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$

代码：

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define inv 3323403
#define MOD 19940417
#define F inline
using namespace std;
typedef long long LL;
LL n,m,ans,p1,p2,p3;
F LL ca(LL x,LL y){ return (y-x+1)*(x+y)/2%MOD; }
F LL cal(LL x){ return x*(x+1)%MOD*(x*2+1)%MOD*inv%MOD; }
F LL calc(LL x){
    LL ret=0;
    for (LL l=1,r;l<=x;l=r+1)
        r=x/(x/l),ret=(ret+x*(r-l+1)%MOD-ca(l,r)*(x/l))%MOD;
    return (ret+MOD)%MOD;
}
int main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    ans=calc(n)*calc(m)%MOD;
    if (n>m) swap(n,m);
    for (LL l=1,r;l<=n;l=r+1){
        r=min(n/(n/l),m/(m/l));
        p1=n*m%MOD*(r-l+1)%MOD;
        p2=(n/l)*(m/l)%MOD;
        p2=p2*(cal(r)-cal(l-1)+MOD)%MOD;
        p3=(m*(n/l)+n*(m/l))%MOD*ca(l,r)%MOD;
        ans=(ans-(p1+p2-p3)%MOD+MOD)%MOD;
    }
    return printf("%lld\n",ans),0;
}