素数对计数算法-优快云博客

题目描述
给定整数N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对.
输入格式
一个整数N
输出格式
答案

输入输出样例
输入 #1
4

输出 #1
4

说明/提示
对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2)
1<=N<=10^7
来源：bzoj2818
本题数据为洛谷自造数据，使用CYaRon耗时5分钟完成数据制作。

解释： $∑p∈prime∑i=1n∑j=1n[gcd(i,j)=p]=∑p∈prime∑i=1⌊np⌋∑j=1⌊np⌋[gcd(i,j)=1]=∑p∈prime∑i=1⌊np⌋(2∗∑j=1i[gcd(i,j)=1]−1)∑_{p∈prime}∑_{i=1}^n∑_{j=1}^n[gcd(i,j)=p]=∑_{p∈prime}∑_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{p} \rfloor }∑_{j=1}^{\lfloor \frac{n}{p} \rfloor }[gcd(i,j)=1]=∑_{p∈prime}∑_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{p} \rfloor }(2*∑_{j=1}^{i}[gcd(i,j)=1]-1)$
$=∑p∈prime∑i=1⌊np⌋(2∗Φ(i)−1)=∑_{p∈prime}∑_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{p} \rfloor }(2*\Phi(i)-1)$ ,我们 $o (n)$ 预处理出来素数和欧拉函数前缀和，直接就可以计算啦

#include<iostream>
using namespace std;
const int inf=0x7fffffff;
const double eps=1e-10;
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch;ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=0;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch&15);ch=getchar();}
    if(f)return x;else return -x;
}
const int N=10000010;
bool vis[N];
long long prim[N],phi[N];
void get_phi(int n){
	phi[1]=1;
  	for(int i=2;i<=n;i++){
    	if(!vis[i]){phi[i]=i-1;prim[++prim[0]]=i;}
    	for(int j=1;j<=prim[0]&&i*prim[j]<=n;j++){
      		vis[i*prim[j]]=1;
      		if(i%prim[j]==0){phi[i*prim[j]]=phi[i]*prim[j];break;}
      		else phi[i*prim[j]]=phi[i]*(prim[j]-1);
    	}
  	}
  	for(int i=1;i<=n;i++) phi[i]+=phi[i-1];
}
int n;
long long ret=0;
int main(){
	get_phi(10000000);
    n=read();
    for(int i=1;i<=prim[0]&&prim[i]<=n;i++){
        ret+=2*phi[n/prim[i]]-1;
    }
    cout<<ret<<endl;
    return 0;
}