洛谷-4900 食堂

最新推荐文章于 2025-09-21 13:51:25 发布

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这是一篇关于洛谷食堂问题的解析博客，主要讨论了如何计算从第Ai天到第Bi天所有菜品的美味值总和，该总和模998244353的结果。文章提到了利用数学技巧对数据进行预处理，以解决T个查询问题。给出的样例显示，当从第1天到第3天计算美味值时，答案是499122177。博客内容涉及数学和算法的应用。

题目描述
食堂第iii天有iii道菜.CYJian觉得第i天的第j道菜的美味程度为 ${ij}\lbrace \frac{i}{j} \rbrace$ (就是取小数部分),当然,CYJian是一个勇于尝试的人,所以每一道菜都会吃那么一点.现在CYJian有T个问题,每一个问题都是从第 $A_i$ 天到第 $B_i$ 天得到的美味值的总和.现在请你帮他算一算吧!请输出答案模 $998244353$ 的值.
输入格式
第一行一个数T。
接下来T行，每一行一共两个数，表示每一次询问的A和B。
输出格式
T行，每行一个正整数表示美味值之和.如果答案可以表示成PQ\frac{P}{Q}Q
P的形式,则需要找到任意一个x使得 $\times x \equiv P (\bmod\ 998244353)$ ,并且输出 $\bmod 998244353$

输入输出样例
输入 #1
1
1 3

输出 #1
499122177

说明/提示
数据范围：
数据点范围 T= A⩽B⩽
$20,10^6,10^6$

解释：设 $f(n)=∑in∑j=1i(ij−[ij])=∑in∑j=1ii∗j−1−∑in∑j=1i[ij]f(n)=\sum_i^n\sum_{j=1}^i(\frac{i}{j}-[\frac{i}{j}])=\sum_i^n\sum_{j=1}^ii*j^{-1}-\sum_i^n\sum_{j=1}^i[\frac{i}{j}]$
第一部分 $∑in∑j=1ii∗j−1=∑ini∗∑j=1ij−1\sum_i^n\sum_{j=1}^ii*j^{-1}=\sum_i^ni*\sum_{j=1}^ij^{-1}$ 因此我们可以预处理出来就OK
第二部分有个结论 $∑i=1nd(i)=∑i=1n[ni]\sum_{i=1}^nd(i)=\sum_{i=1}^n[\frac{n}{i}]$ 因此我们可以预处理出来，再求和就OK

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
#define N 1000003
#define mod 998244353
using namespace std;
ll inv[N]={0};
ll mk[N]={0};
ll c33[N]={0};
int main(){
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++) inv[i]=inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
    for(int i=1;i<N;i++) inv[i]=(inv[i-1]+inv[i])%mod;
    for(int i=1;i<N;i++) mk[i]=i*inv[i]%mod;
    for(int i=1;i<N;i++) mk[i]=(mk[i]+mk[i-1])%mod;
    for(int i=1;i<N;i++) for(int j=i;j<N;j+=i) c33[j]++;
    for(int i=1;i<N;i++) c33[i]=(c33[i-1]+c33[i])%mod;
    for(int i=1;i<N;i++) c33[i]=(c33[i-1]+c33[i])%mod;
    int T=0;scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int l=0,r=0;scanf("%d%d",&l,&r);
        ll ret=(mk[r]-mk[l-1]-c33[r]+c33[l-1])%mod;
        ret+=mod;ret%=mod;
        printf("%lld\n",ret);
    }
    return 0;
}