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本文通过动态规划方法解决编辑距离问题（LeetCode 72题）。解题思路是从字符串末尾开始比较字符，若不相同则进行插入、删除或替换操作。关键点在于发现对word1的修改操作等价于对word2的相应操作，从而简化状态转移方程为dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1。边界条件初始化后，通过二维数组实现状态转移，最终得到最小编辑距离。算法时间复杂度O(MN)，空间复杂度O(MN)。总结指出动态规划解题要点：从递归思路出发，识别状态转移条件

【摘要】1143题最长公共子序列采用二维动态规划解法。定义dp[i,j]表示text1前i个字符与text2前j个字符的最长公共子序列长度。边界条件为dp[0,j]=dp[i,0]=0。状态转移分两种情况：当字符匹配时dp[i,j]=dp[i-1,j-1]+1；不匹配时取dp[i-1,j]和dp[i,j-1]的最大值。该算法时间复杂度O(MN)，空间复杂度O(MN)，是处理字符串公共子序列问题的典型动态规划方法。

摘要：本文探讨了最长回文子串问题的两种解法。动态规划法通过构建二维数组dp[i][j]记录子串是否为回文，状态转移方程为dp[i][j]=(s[i]==s[j])&&dp[i+1][j-1]。中心扩展法则通过枚举所有可能的回文中心（奇数和偶数长度），向两侧扩展寻找最长回文。两种方法都利用了回文串的特性：首尾字符相同且子串也是回文。动态规划空间复杂度为O(n²)，而中心扩展法空间复杂度为O(1)。（149字）

本文探讨了LeetCode 62题"不同路径"的三种解法。基础解法使用二维动态规划，记录每个格子的路径数，状态转移方程为dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。优化解法将空间压缩为一维数组，利用dp[j] += dp[j-1]更新状态。最优解法通过组合数学原理，计算移动次数的组合数C(m+n-2,m-1)。三种方法的时间复杂度分别为O(mn)、O(mn)和O(m)，空间复杂度依次优化为O(n)和O(1)。文章强调了动态规划的模式识别和状态压缩技巧，以及数学原

本文介绍了使用动态规划求解最长有效括号长度的方法。关键思路是定义dp[i]为以字符s[i]结尾的最长有效括号长度，并分情况处理')'字符：当遇到"()"时，dp[i]=dp[i-2]+2；当遇到"))"时，若匹配到对应的'('，则dp[i]=dp[i-1]+dp[i-dp[i-1]-2]+2。该算法时间复杂度O(n)，空间复杂度O(n)。核心启示是：动态规划中子问题的定义要尽可能简单明确，通过限制条件简化状态转移方程的推导。

摘要：该文介绍了用动态规划求解最大乘积子数组问题。关键点在于同时维护两个状态数组：maxF记录到当前位置的最大乘积，minF记录最小乘积。状态转移时考虑三种情况：延续之前的乘积、重新开始或负负得正。最终在maxF数组中取最大值即为答案。算法时间复杂度O(N)，空间复杂度O(N)。核心思想是通过同时跟踪最大最小值来处理元素正负带来的影响。

该问题考察将数组分割为两个等和子集的可能性。解题思路：1)首先判断总和是否为偶数；2)转化为0-1背包问题，寻找和为sum/2的子集。通过逐步优化，从回溯法到带记忆的DFS，再到二维DP，最终优化为一维DP。关键点：总和必须为偶数；转化为背包问题；优化空间复杂度时需逆向遍历。最优解使用一维DP数组，时间复杂度O(N*target)，空间复杂度O(target)。

本文介绍了求解最长递增子序列的动态规划方法。通过定义dp[i]表示以nums[i]结尾的最长子序列长度，初始值设为1。状态转移时，若nums[j]<nums[i]（j<i），则更新dp[i]为max(dp[i], dp[j]+1)。最终结果为dp数组中的最大值。该方法时间复杂度为O(n²)，空间复杂度为O(n)。关键点在于正确识别状态转移条件（nums[j]<nums[i]），确保子序列严格递增。

该题解使用动态规划解决字符串拆分问题。定义dp[i]表示前i个字符能否被字典中的单词拆分。初始化dp[0]为true（空字符串可拆分）。状态转移时，遍历所有可能的分割点j，若dp[j]为true且子串s[j..i-1]在字典中，则dp[i]=true。使用哈希集合存储字典以提高查询效率。时间复杂度O(n^2)，空间复杂度O(n)。关键点在于利用已知子问题结果，避免重复计算，通过分割点将问题分解为两个子问题判断。

本文探讨了解决零钱兑换问题的两种主要方法：动态规划和记忆化深度优先搜索。动态规划方法通过构建dp数组，其中dp[i]表示凑到金额i所需的最少硬币数，采用状态转移方程dp[i]=min(dp[i],dp[i-coin]+1)进行求解，时间复杂度为O(NAmount)。优化后的动态规划方案避免了预处理硬币数组，直接通过遍历计算状态值。另一种方法是记忆化DFS，通过递归和剪枝来减少重复计算，同样达到O(NAmount)的时间复杂度。文章强调解决此类问题需明确状态定义和转移方程，当问题可分解为子问题时，动态规划或记

该文探讨了完全平方数问题的两种解法：动态规划和数学优化。动态规划解法通过构建dp数组，记录每个数的最小完全平方数和，时间复杂度O(n√n)。数学优化基于拉格朗日四平方定理，将问题转化为判断数字能否表示为1/2/3/4个平方数之和，时间复杂度降至O(√n)。文章强调了枚举在解决数字相加问题中的重要性，并比较了两种方法的优劣，指出数学方法在效率上的显著优势。

本文讨论了"打家劫舍"问题的动态规划解法。对于一排房屋，每个房屋有两种选择（偷或不偷），决策取决于前一个房屋的状态。建立动态规划数组dp[i]表示偷到第i个房屋的最大金额，状态转移方程为dp[i]=max(dp[i-2]+nums[i], dp[i-1])。算法时间复杂度O(n)，空间复杂度O(n)。关键在于识别每个房屋的状态选择及其与前序房屋的关系，从而建立正确的状态转移方程。

摘要：本文讨论了爬台阶问题的三种解法。首先采用递归方法，发现存在重复计算导致超时；然后引入记忆化搜索优化，通过字典存储已计算结果，将时间复杂度降为O(n)；最后提出动态规划解法，仅用三个变量迭代计算，空间复杂度优化为O(1)。三种方法都基于相同的子问题分解思路，但通过不同优化手段逐步提升了效率。结果表明，递归问题可通过记忆化或动态规划来避免重复计算。