隐马尔科夫模型（HMM）原理

马尔科夫链

    马尔可夫链是一组具有马尔可夫性质的离散随机变量的集合。具体地，随机变量集合 X={Xn:n>0}\bold X=\{X_n:n>0\}X={Xn​:n>0}，若随机变量的取值都在数据集内 $X_n=s_i,s_i\in \mathbf{s}$ ，且随机变量的条件概率满足如下关系：
$$p(X_{t+1}|X_t,X_{t-1},...,X_2,X_1)=p(X_{t+1}|X_t)$$则$\mathbf{X}$被称为马尔可夫链，$\mathbf{s}$被称为状态空间，马尔可夫链在状态空间内的取值称为状态。
    用通俗易懂的话就是：当前状态只依赖于前一时刻的状态，与其他时刻状态无关。

隐马尔可夫模型

    隐马尔可夫模型中引入了隐状态，隐状态符合马尔可夫链特性。示意图如下：

    隐马尔可夫模型（HMM）可以用五个元素来描述，包括2个状态集合和3个概率矩阵：
    1. 隐含状态 Q={q1,...,qN}Q=\{q_1,...,q_N\}Q={q1​,...,qN​}。隐状态的数量为$N$，这些状态之间满足马尔可夫性质，是马尔可夫模型中实际所隐含的状态。这些状态通常无法通过直接观测而得到，当前状态只依赖于前一时刻的状态。满足齐次马尔可夫假设，可以用一下公式来描述($i_t$表示t时刻的状态)：
$$p(i_t|i_{i-1}...,i_2,i_1)=p(i_t|i_{t-1})$$    2. 可观测状态 V={v1,...,vM}V=\{v_1,...,v_M\}V={v1​,...,vM​}。观测序列的数量为$M$，在模型中与隐含状态相关联，可通过直接观测而得到，当前时刻的观测值只依赖于当前时刻的状态。满足观测独立性假设，可以用以下公式描述($o_t$表示t时刻的观测序列):
$$p(o_t|o_{t-1},...,o_1,i_t,i_{t-1},...,i_1)=p(o_t|i_t)$$    3. 初始状态概率矩阵 $\pi$。表示隐含状态在初始时刻t=1的概率矩阵，也就是t=1时刻出现各种状态的概率。例如t=1时，$p(q_1)=p_1,p(q_2)=p_2,p(q_3)=p_3$，则初始状态概率矩阵 $\pi =[p_1,p_2,p_3]$.
    4. 隐含状态转移概率矩阵 $A$。描述了HMM模型中各个状态之间的转移概率。$A$的维度为$(N,N)$，其中$a_{ij}=p(i_{t+1}=q_j|i_t=q_i)(1<=i,j<=N)$表示在 t 时刻、状态为 $q_i$的条件下，在 t+1 时刻状态是 $q_j$ 的概率。
    5. 观测状态转移概率矩阵 $B$。描述了HMM模型中各个状态到观测序列的概率。$B$的维度为$(N,M)$，则：$b_j(k)=p(o_t=v_k|i_t=q_j),1\le j\le N,1\le k\le M$, 表示在 t 时刻、隐含状态是 $q_j$ 条件下，观察状态为 $v_k$的概率。
    一般的，可以用$\lambda =(A,B,\pi )$三元组来简洁的表示一个隐马尔可夫模型。隐马尔可夫模型实际上是标准马尔可夫模型的扩展，添加了可观测状态集合和这些状态与隐含状态之间的概率关系。

三个问题

1. 评价问题
       问题描述：此问题主要是在已知模型参数$\lambda =(A,B,\pi )$的条件下，求给定观测序列出现的概率。设状态序列为I={i1,i2,...,iT}I=\{i_1, i_2,...,i_T\}I={i1​,i2​,...,iT​}：，其对应的观测序列为：O={o1,o2,...,oT}O=\{o_1, o_2,...,o_T\}O={o1​,o2​,...,oT​}，概率可以表示为：
   $$\begin{array}{rl}p(O|\lambda )& =\sum _{I}p(O,I|\lambda )\\ & =\sum _{I}p(O|I,\lambda )p(I|\lambda )\end{array}$$
       由于状态序列$I$的长度为$T$，每个状态有$N$种可能，所以状态序列$I$共有$N^T$种可能，然后每种可能计算与观测序列O的概率，所以时间复杂度为：$O(T{N}^T)$。对于此方法的时间复杂度太高，实际上不可行。
       当状态数量过多或状态序列长度过大时，直接求解就会相当困难，于是需要使用其他可行的算法代替。这里介绍两种算法：前向算法和后向算法。

   前向算法

       首先，我们设在时刻$t$的状态为$q_i$，且观测序列为$o_1,o_2,...,o_t$的概率为:
   $${\alpha }_t(i)=p(o_1,o_2,...,o_t,i_t=q_i|\lambda )$$
       接着，我们设在时刻$t$的状态为$q_j$，且观测序列为$o_1,o_2,...,o_{t+1}$的概率为:
   $$\begin{array}{rl}{\alpha }_{t+1}(i)& =p(o_1,o_2,...,o_{t+1},i_{t+1}=q_i|\lambda )\\ & =\sum _{j=1}^{N}p(o_1,o_2,...,o_{t+1},i_t=q_j,i_{t+1}=q_i|\lambda )\\ & =\sum _{j=1}^{N}p(o_1,o_2,...,o_t,i_t=q_j,i_{t+1}=q_i|\lambda )p(o_{t+1}|o_1,o_2,...,o_t,i_t=q_j,i_{t+1}=q_i,\lambda )\\ & =\sum _{j=1}^{N}p(o_1,o_2,...,o_t,i_t=q_j,i_{t+1}=q_i|\lambda )p(o_{t+1}|i_{t+1}=q_i,\lambda )\\ & =\sum _{j=1}^{N}p(o_1,o_2,...,o_t,i_t=q_j|\lambda )p(o_{t+1}|i_{t+1}=q_i,\lambda )p(i_{t+1}=q_i|o_1,o_2,...,o_t,i_t=q_j,\lambda )\\ & =\sum _{j=1}^{N}p(o_1,o_2,...,o_t,i_t=q_j|\lambda )p(o_{t+1}|i_{t+1}=q_i,\lambda )p(i_{t+1}=q_i|i_t=q_j,\lambda )\\ & =\sum _{j=1}^N{\alpha }_t(j)b_i(o_{t+1})a_{ji}\\ & =b_i(o_{t+1})\sum _{j=1}^N{\alpha }_t(j)a_{ji}\end{array}$$
       特别的，当$t=1$时刻，${\alpha }_1=b_i(o_1){\pi }_i$，其中$1\le i\le N$。

   后向算法

       首先，我们设在时刻$t$的状态为$q_i$，且观测序列为$o_{t+1},o_{t+2},...,o_T$的概率为:
   $${\beta }_t(i)=p(o_{t+1},o_{t+2},...,o_T|i_t=q_i,\lambda )$$
       接着，我们设在时刻$t-1$的状态为$q_i$，且观测序列为$o_t,o_{t+1},...,o_T$的概率为:
   $$\begin{array}{rl}{\beta }_{t-1}(i)& =p(o_t,o_{t+1},...,o_T|i_{t-1}=q_i,\lambda )\\ & =\sum _{j=1}^{N}p(o_t,o_{t+1},...,o_T,i_t=q_j|i_{t-1}=q_i,\lambda )\\ & =\sum _{j=1}^{N}p(o_{t+1},...,o_T,i_t=q_j|i_{t-1}=q_i,\lambda )p(o_t|o_{t+1},...,o_T,i_{t-1}=q_i,i_t=q_j,\lambda )\\ & =\sum _{j=1}^{N}p(o_{t+1},...,o_T,i_t=q_j|i_{t-1}=q_i,\lambda )p(o_t|i_t=q_j,\lambda )\\ & =\sum _{j=1}^{N}p(o_{t+1},...,o_T|i_{t-1}=q_i,i_t=q_j,\lambda )p(i_t=q_j|o_{t+1},...,o_T,i_{t-1}=q_i,\lambda )p(o_t|i_t=q_j,\lambda )\\ & =\sum _{j=1}^{N}p(o_{t+1},...,o_T|i_t=q_j,\lambda )p(i_t=q_j|i_{t-1}=q_i,\lambda )p(o_t|i_t=q_j,\lambda )\\ & =\sum _{j=1}^N{\beta }_t(j)a_{ij}{b}_j(o_t)\end{array}$$
       特别的，当$t=T$时刻，${\beta }_T(i)=1$，T时刻是最终时刻，无后续，可以任意设置。
2. 预测问题
       问题描述：此问题主要是在已知模型参数$\lambda =(A,B,\pi )$的条件下，求出最优可能出现的状态序列。设状态序列为I={i1,i2,...,iT}I=\{i_1, i_2,...,i_T\}I={i1​,i2​,...,iT​}：，其对应的观测序列为：O={o1,o2,...,oT}O=\{o_1, o_2,...,o_T\}O={o1​,o2​,...,oT​}。该问题可以表示为：
   $$arg\underset{I}{\max }P(I|O,\lambda )$$

   维特比算法

       首先，我们设在时刻$t$的状态为$q_i$，且观测序列为$o_1,o_2,...,o_t$。此时最有可能的状态序列为：:
   $${\delta }_t(i)=\underset{i_1,i_2,..i_{t-1}}{\max }p(o_1,o_2,...,o_t,i_1,i_2,...,i_t=q_i|\lambda )$$
       接着，我们设在时刻$t$的状态为$q_i$，且观测序列为$o_1,o_2,...,o_{t+1}$。此时最有可能的状态序列为：
   $$\begin{array}{rl}{\delta }_{t+1}(i)& =\underset{i_1,i_2,..i_t}{\max }p(o_1,o_2,...,o_{t+1},i_1,i_2,...,i_{t+1}=q_i|\lambda )\\ & =\underset{i_1,i_2,..i_t}{\max }p(o_1,o_2,...,o_t,i_1,i_2,...,i_{t+1}=q_i|\lambda )p(o_{t+1}|o_1,o_2,...,o_t,i_1,i_2,...,i_{t+1}=q_i,\lambda )\\ & =\underset{i_1,i_2,..i_t}{\max }p(o_1,o_2,...,o_t,i_1,i_2,...,i_{t+1}=q_i|\lambda )p(o_{t+1}|i_{t+1}=q_i,\lambda )\\ & =\underset{i_1,i_2,..i_t}{\max }p(o_1,o_2,...,o_t,i_1,i_2,...,i_t=q_j|\lambda )p(o_{t+1}|i_{t+1}=q_i,\lambda )p(i_{t+1}=q_i|o_1,o_2,...,o_t,i_1,i_2,...,i_t=q_j,\lambda )\\ & =\underset{i_1,i_2,..i_t}{\max }p(o_1,o_2,...,o_t,i_1,i_2,...,i_t=q_j|\lambda )p(o_{t+1}|i_{t+1}=q_i,\lambda )p(i_{t+1}=q_i|i_t=q_j,\lambda )\\ & =\underset{i_1,i_2,..i_t}{\max }{\delta }_t(j)b_i(o_{t+1})a_{ji}\\ & =\underset{i_t}{\max }{\delta }_t(j)b_i(o_{t+1})a_{ji}\\ & =\underset{1\le j\le N}{\max }{\delta }_t(j)b_i(o_{t+1})a_{ji}\\ & =b_i(o_{t+1})\underset{1\le j\le N}{\max }{\delta }_t(j)a_{ji}\end{array}$$
       特别的，当$t=1$时刻，${\delta }_1=b_i(o_1){\pi }_i$，其中$1\le i\le N$。
3. 学习问题
   .     问题描述：此问题是在知道状态序列，观测序列的条件下，求出最有可能的$\lambda =(A,B,\pi )$。该问题使用Baum-Welch 算法解决。该算法目前还没有研究，待后续补上。。。
       关于HMM的应用会在后续的分词、词性标注上具体给出，敬请期待！