隐马尔可夫模型原理介绍

1. 引言

    隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model，HMM）是可用于标注问题的统计学习模型，描述由隐藏的马尔可夫链随机生成观测序列的过程，属于生成模型，以下统一用简称HMM表示。HMM在语音识别、自然语言处理等都有着广泛的应用。

2. HMM原理介绍

2.1 HMM模型的定义

    HMM模型是关于时序的概率模型，描述由一个隐藏的马尔可夫链随机生成不可观测的状态随机序列，再由各个状态生成一个观测而产生观测随机序列的过程。隐藏的马尔可夫链随机生成不可观测的状态的序列称为状态序列；每个状态生成一个观测，再由此产生的观测的随机序列，称为观测序列。序列的每一个位置可以看作是一个时刻。

    HMM模型由初始概率分布、状态转移概率分布、观测概率分布确定。设$Q$是所有可能的状态的集合，$V$是所有可能的观测的集合，即：
Q={ q1,q2,⋯ ,qN},V={ v1,v2,⋯ ,vM} Q=\left\{q_{1}, q_{2}, \cdots, q_{N}\right\}, \quad V=\left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{M}\right\} Q={ q1​,q2​,⋯,qN​},V={ v1​,v2​,⋯,vM​}其中，$N$是可能的状态数，$M$是可能的观测数。记$I$是长度为$T$的状态序列，$O$是对应的观测序列，即：
$$I=\left(i_1,i_2,\cdots ,i_T\right),O=\left(o_1,o_2,\cdots ,o_T\right)$$记$A$为状态转移概率矩阵：
$$A={\left[a_{ij}\right]}_{N\times N}$$其中，$a_{ij}=P\left(i_{t+1}=q_j|i_t=q_i\right),i=1,2,\cdots ,N;j=1,2,\cdots ,N$，即在时刻$t$处于状态$q_i$的条件下在时刻$t+1$转移到状态$q_j$的概率。

    记$B$为观测概率矩阵：
$$B={\left[b_j(k)\right]}_{N\times \mu }$$其中，$b_j(k)=P\left(o_t=v_k|i_t=q_j\right),k=1,2,\cdots ,M;j=1,2,\cdots ,N$是在时刻$t$处于状态$q_j$的条件下生成观测$v_k$的概率。

    记$\pi$为初始状态概率向量：
$$\pi =\left({\pi }_i\right)$$其中，${\pi }_i=P\left(i_1=q_i\right),i=1,2,\cdots ,N$，表示时刻$t=1$处于状态$q_i$的概率。

    因此，HMM模型$\lambda$可以用三元符号表示，即：
$$\lambda =(A,B,\pi )$$$A,B,\pi$称为HMM模型的三要素。

    从HMM模型的定义可以发现，HMM其实做了两个基本的假设：

1. 齐次马尔可夫性假设：即假设隐藏的马尔可夫链在任意时刻$t$的状态只依赖于其前一时刻的状态，与其他时刻的状态及观测无关，也与时刻$t$无关，即
   $$P\left(i_t|i_{t-1},o_{t-1},\cdots ,i_1,o_1\right)=P\left(i_t|i_{t-1}\right),t=1,2,\cdots ,T$$
2. 观测独立性假设：即假设任意时刻的观测只依赖于该时刻的马尔可夫链的状态，与其他的观测和状态无关。即
   $$P\left(o_t|i_t,o_t,i_{t-1},o_{t-1},\cdots ,i_{t+1},o_{t+1},i_t,i_{t-1},o_{t-1},\cdots ,i_1,o_1\right)=P\left(o_t|i_t\right)$$

2.2 概率计算方法

     概率计算即给定模型$\lambda =(A,B,\pi )$和观测序列$O=\left(o_1,o_2,\cdots ,o_T\right)$，计算在模型$\lambda$下，观测序列$O$出现的概率$P(O|\lambda )$。

2.2.1 直接计算法

     直接计算法是通过列举所有可能的长度为$T$的状态序列$I=\left(i_1,i_2,\cdots ,i_T\right)$，求各个状态序列$I$和观测序列$O=\left(o_1,o_2,\cdots ,o_T\right)$的联合概率$P(O,I|\lambda )$，然后对所有可能的状态序列求和，得到$P(O|\lambda )$。

    状态序列$I=\left(i_1,i_2,\cdots ,i_T\right)$的概率为：
$$P(I|\lambda )={\pi }_{i_1}$$