使用模拟方法玩转统计推断

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原创最新推荐文章于 2026-01-24 14:40:42 发布 622 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

统计功效(power) 定义 & 描述别名敏感度(sensitivity) 目的：反映一个检验检测出指定大小效应的能力定义在假设检验中，拒绝原假设后，接受正确的替换假设的概率假设检验拒绝的漏报率：用同样的检验方法，对样本重采样/重复实验后计算检验值，统计检验值 > 0.05(显著阈值)的占比假设检验的“正确通过率”，1 - 漏报率不犯第二类错误的概率当AB两组差异真的存在时，我们能正确判断的概率计算：1−β=Φ(z−z1−α/2)+Φ(−z−z1−α/2)1 - \beta = \Phi 阅读详情

原文链接：使用模拟方法玩转统计推断https://mp.weixin.qq.com/s/bUSE2JY4M9knTMCjJwXNWw

统计推断主要涉及四个指标[1]。简单来说，它们是α、1-β（统计功效）、效应量和样本量，其中统计功效和效应量相对比较抽象。

本文将继续深入学习上一篇文章中所讲的模拟方法，通过R语言编程的方式，阐释统计功效和效应量的具象含义。

统计功效又名统计检验力。假设某种处理能够产生某种效应，那么通过一次抽样操作能够检测到这种效应的概率就是其含义了。

统计功效还有一个名称，叫“真阳性率”。当零假设H0为假时，只要样本的数量无限接近总体的数量，那么肯定的一个结果是H0会被拒绝。

然而，实际情况是，抽样的数量很有限，而且抽样难免会产生误差，因此抽样结果有时会正确拒绝H0，有时又会落入误区（下图蓝色β区域）[2]。

在所有的抽样次数中，正确拒绝H0的次数所占的比例即是真阳性率。如果能够在80%的情况下拒绝错误的零假设，意思是说它的统计功效是80%。

心理学研究经常使用G*Power来进行功效分析和样本量计算。不过，说是功效分析通常通过模拟来完成，特别是对于非实验研究[3]。

这让人想到通过计算机模拟打点计算圆周率的方法。边长为1的正方形有一内切圆，按随机打点位置在四分之一圆弧内还是外，通过面积比例计算得到π的估计值。

功效分析会遇到一些现实困难。除了小效应外，还有自变量本身变异不大、因变量噪声太多（受其它因素影响）以至于信号难以提取，以及追求苛刻的估计效应值的标准误。

好在这几个问题能够通过增加足够的样本量来解决。至于到底需要多少的样本量，是可以通过所设定的统计功效和效应量计算出来的。

效应量即真实效应值，例如回归分析中的预测因子系数。

为了更加具体地了解概念，还得结合例子进行说明。假设我们想研究阅读训练计划（X）对儿童阅读成绩（Y）的影响，还关心该效应是否会因性别（M）而异[3]。

我们先从上帝的视角来展示下“真实数据”：X的回归系数为3.6，M的回归系数为0.6，X和M交互作用的回归系数为1.2，Y的标准差为8。

对于其它一堆可能会影响测试分数的因素，我们统一打包到一个控制变量S里。并且设定S每增加一个标准差，相应地Y会平均增加5个单位。

而且S也会对自变量X产生影响：S每增加一个标准差，接受训练的可能性则会减少11%。

要是用回归方程来表示以上设定，那就是Y = β0 + 3.6*X + 0.6M + 5*S + 1.2*M*X + rnorm(N, sd = 8)，其中rnorm()函数用于在模拟数据过程中生成误差项。

--逐步编程--

上图是根据前面一篇文章[4]，对模拟方法的使用流程作了梳理。以下的例子演示与这个流程基本相同，只是最后一步检验的是效应量和样本量。

在模拟中要如何提取功效值呢？从操作定义的角度看，统计功效等于是抽样结果中具有统计显著性的比例。

因此在编程中要增加一个二进制变量，用于存储效应是否显著的结果。这里的是否显著指的是非零检验的结果，即参数估计值的置信区间是否包含零。

就本文的例子来说，指的是X和M两者交互效应的系数估计值是否显著。其是否显著的结果要从模型拟合结果中读取，上篇文章已讲到可以使用broom包的tidy()函数。

tidy()函数能够从模型信息中提取出整洁的结果，其输出为tibble类型，方便访问具体的结果值（见下图）。

其实到目前为止，前期的准备工作已完成。接下来可以参照上一篇文章的内容，完成自定义函数的编写，用于模拟生成一份样本数据（代码如下）。

##模拟采样函数##
#参数B4指交互效应系数
d_sample <- function(N, B4) {
S = rnorm(N)	#混杂因素
M= sample(0:1, N, replace = TRUE)	#性别
d_temp <- tibble(S, M) %>%
        #根据S对X的影响关系生成数据
        #接受阅读训练的比例不到一半
        mutate(X = runif(N) + .11*S < .5) %>%
        #假设截距值为2.3
        mutate(Y = 2.3 + 3.6*X + 0.6*M + 5*S + B4*M*X + rnorm(N, sd = 8))
    
    return(d_temp)
}

上面自定义函数有一个B4参数，它是指交互作用的效应量。虽然前面已设定其真实值为1.2，不过后面我们要对它进行操纵试验，此处用参数能够保留调整的灵活性。

下一步是根据生成的样本数据，通过线性拟合方法估计模型参数，同时获得显著性结果。这里我们只关心交互效应是否显著，最终用于计算真阳性率（即统计功效）。

##返回交互效应是否显著##
r_sig <- function(N, B4) {
    d_onetime <- d_sample(N, B4)
#第一个参数formula默认带常数项β0
# X*M等价于X+M+X:M（冒号表示交互项）
m_fitted <- lm(Y~X*M + S, data = d_onetime)
    #模型转tibble
    m_tidied <- tidy(m_fitted)

    #第五行对应B4系数
    r_temp <- m_tidied$p.value[5] < .05
    
    return(r_temp)
}

一切准备就绪，现在可以用上火力了——通过迭代方法生成任意数量的样本。例如生成1000份样本，每个样本的大小为2000，分别对应下边r_iterate()函数的count参数和N参数。

##迭代调用##
r_iterate <- function(N, B4, count) {
r_temp <- 1:count %>%
#参数x表示当前迭代
map_dbl(function(x) {
        #输出进度
        if (x %% 100 == 0) { print(percent(x/count)) }

        #返回是否显著结果
        return(r_sig(N, B4))
    })
    
    #均值即功效值
    return(mean(r_temp))
}

r_iterate()函数会计算1000份样本中，交互效应结果显著的比例。

要是保持B4和count参数不变，仅去调整N，就可以获得不同的功效值。反过来说，假设我们对功效的期望值是80%，那么只需通过反复多次试验就能找到最小的N值。

##寻找最小样本量##
r_effect <- tibble(N = c(2000, 4000, 6000))
#创建power列，存储不同样本量下的效应值
r_effect$power <- c(2000, 4000, 6000) %>%
    #第一个参数N由前面的向量逐个传递进来
    map_dbl(r_iterate, B4 = 1.2, count = 1000)
r_effect

上图显示，6000份样本时，效应量已接近82%。

还有最后一个问题就留给各位自己做试验啦~

当样本数量和样本大小保持不变，如何通过前面预留的B4参数，去获得不同交互效应下不同的统计功效呢？

参考文章：

到底需要多少样本量
https://mp.weixin.qq.com/s/Ate4y3GiwOw_KQWIq8DV7A
从样本量计算到元分析——有效应量、有随机效应模型
https://mp.weixin.qq.com/s/UlXDAoQtT7oczY6pJwm9YQ
The Effect: An Introduction to Research Design and Causality
https://theeffectbook.net/index.html
模拟生成因果关系数据
https://mp.weixin.qq.com/s/YL3_kuEsNdhAjhxFAguC1g