kNN 的数学表达式

kNN 是机器学习的基础算法. 程序容易写, 但要用数学式子来表达, 却有一定难度. 今天我们就来杠一下吧.

1. 基本符号

Table 1. Notations.

符号	涵义
U={x1,…,xn}\mathbf{U} = \{x_1, \dots, x_n\}U={x1​,…,xn​}	样本集
${\delta }_{ij}=\delta (x_i,x_j)$	$x_i$ 与 $x_j$ 的距离
${\delta }_{\mathbf{B}}(x_i,x_j)$	使用属性子集 $\mathbf{B}$ 时 $x_i$ 与 $x_j$ 的距离
$d(x_i)$	$x_i$ 的决策属性值, 即类别

说明: 由于 $d$ 要用于表示决策属性, 距离只好用 $\delta$. 也可以考虑换成 $dis$ 之类.

2. 方案一: 刚好考虑 $k$ 个邻居

作为 $k$NN 的基本方案, 邻居刚好考虑 $k$ 个.

2.1 邻域的表示

对于 $x\notin \mathbf{U}$, 由于它到不同样本的距离可能相等, 其 $k$ 个邻居并不一定唯一, 定义如下:

Definition 1. any $\mathbf{X}\subseteq \mathbf{U}$ is a set of $k$-nearest neighbors of $x\notin \mathbf{U}$ iff

1. $|\mathbf{X}|=k$;
2. $\forall x_i\in \mathbf{X}$ and $x_j\in \mathbf{U}\setminus \mathbf{X}$, $\delta (x,x_i)\le \delta (x,x_j)$.

换种写法:
The set family of all $k$-nearest neighbors of $x\notin \mathbf{U}$ is given by
Tk(x,U)={X⊆U∣∣X∣=k,∀xi∈X and xj∈U∖X,dis(x,xi)≤dis(x,xj)},(1)\Tau_k(x, \mathbf{U}) = \{\mathbf{X} \subseteq \mathbf{U} \vert |\mathbf{X}| = k, \forall x_i \in \mathbf{X} \textrm{ and } x_j \in \mathbf{U} \setminus \mathbf{X}, dis(x, x_i) \leq dis(x, x_j)\}, \tag{1}Tk​(x,U)={X⊆U∣∣X∣=k,∀xi​∈X and xj​∈U∖X,dis(x,xi​)≤dis(x,xj​)},(1)
where $|\cdot |$ denotes the cardinality of a set.

下面来定义比 $x_i$ 更靠近 $x$ 的集合.
The set of instances that are closer to $x$ than $x_i$ is given by
C(x,xi,U)={xj∈U∣δ(x,xj)<δ(x,xi)}.C(x, x_i, \mathbf{U}) = \{x_j \in \mathbf{U} \vert \delta(x, x_j) < \delta(x, x_i)\}.C(x,xi​,U)={xj​∈U∣δ(x,xj​)<δ(x,xi​)}.

如果想要 $k$-近邻的唯一性, 就需要加一个条件.
Definition 2. Suppose that $\delta (x,x_i)$ is different for any $x_i\in \mathbf{U}$. The set of $k$-nearest neighbors of $x$ is given by
τk(x,U)={xi∈U∣∣C(x,xi,U)∣<k}.(2)\tau_k(x, \mathbf{U}) = \{x_i \in \mathbf{U} \vert |C(x, x_i, \mathbf{U})| < k\}. \tag{2}τk​(x,U)={xi​∈U∣∣C(x,xi​,U)∣<k}.(2)

2.2 投票过程的表示

根据邻域进行投票, 就可以获得支持率最高的类, 所为最终的分类.

p(x,τk(x,U))=arg max⁡c∣{xi∈τk(x,U)∣d(xi)=c}∣.(3)p(x, \tau_k(x, \mathbf{U}) ) = \argmax_{c}\vert \{x_i \in \tau_k(x, \mathbf{U}) \vert d(x_i) = c\} \vert. \tag{3}p(x,τk​(x,U))=cargmax​∣{xi​∈τk​(x,U)∣d(xi​)=c}∣.(3)

注意到这里的值其实也不是唯一的, 因为得数最多的类别可能不止一个.

2.3 鹏鹏提供的方式

标签为 $c$ 的实例集合为:
Dc(U)={xi∈U∣d(xi)=c}.(4)D_c(\mathbf{U}) = \{x_i \in \mathbf{U} \vert d(x_i) = c\}. \tag{4}Dc​(U)={xi​∈U∣d(xi​)=c}.(4)

因此
p(x,τk(x,U))=arg max⁡c∣{τk(x,U)∩Dc(U)}∣.(5)p(x, \tau_k(x, \mathbf{U}) ) = \argmax_{c}\vert \{\tau_k(x, \mathbf{U}) \cap D_c(\mathbf{U})\} \vert. \tag{5}p(x,τk​(x,U))=cargmax​∣{τk​(x,U)∩Dc​(U)}∣.(5)
甚至
p(x,τk(x,U))=arg max⁡c∣{Dc(τk(x,U))}∣.(6)p(x, \tau_k(x, \mathbf{U}) ) = \argmax_{c}\vert \{D_c(\tau_k(x, \mathbf{U}))\} \vert. \tag{6}p(x,τk​(x,U))=cargmax​∣{Dc​(τk​(x,U))}∣.(6)

3. 方案二: 处理距离相等更好的方式

假设班上有 1 名同学考了 100 分, 3 名同学考了 99 分, 其他同学都是 98 分及以下. 如果想取前 2 名, 怎么办?
按上一节的方案, 按照某种策略 (包括随机, 低序号优先), 把考 99 分的 3 名同学中选择 1 位作为第 2 名, 其余同学机会.
本节讨论另一种方案: 将这 3 名同学并列第 2. 这种方案的优势是公平, 但劣势是已经不再取刚好 2 名.

3.1 邻域的表示

首先来定义 $x$ 在 $\mathbf{U}$ 中的 $\delta$ 邻域.
Definition 2. The $\epsilon$-neighborhood of $x$ in $\mathbf{U}$ is given by
nε(x,U)={xi∈U∣δ(x,xi)≤ε}.n_\varepsilon(x, \mathbf{U}) = \{x_i \in \mathbf{U} \vert \delta(x, x_i) \leq \varepsilon\}.nε​(x,U)={xi​∈U∣δ(x,xi​)≤ε}.

然后来讨论刚好达到或超过 $k$ 个邻居的域值.
Definition 3. $\epsilon =\epsilon (k,x,\mathbf{U})$ is called the $k$-nearest neighbors threshold of $x$ wrt. $\mathbf{U}$ iff
a) $|n_{\epsilon }(x,\mathbf{U})|\ge k$;
b) Any ${\epsilon }^{\prime }<\epsilon$, $|n_{{\epsilon }^{\prime }}(x,\mathbf{U})|<k$.

其中 a) 为达到邻域个数的约束, 条件 b) 为最小性的约束. 两个综合, 就是“刚好达到”.

Definition 4. The extended $k$ nearest neighbors of $x$ in $\mathbf{U}$ is given by τk(x,U)={xi∈U∣δ(x,xi)≤ε(k,x,U)}.\tau_k(x, \mathbf{U}) = \{x_i \in \mathbf{U} \vert \delta(x, x_i) \leq \varepsilon(k, x, \mathbf{U})\}.τk​(x,U)={xi​∈U∣δ(x,xi​)≤ε(k,x,U)}.

用这三个定义, 感觉有些绕, 我们再来想想更好的办法.

Definition 3’. The $k$-nearest neighbors threshold of $x$ wrt. $\mathbf{U}$ is given by
$$\epsilon (k,x,\mathbf{U})=\underset{|n_{\epsilon }(x,\mathbf{U})|\ge k}{\min }ϵ.$$

用它来代替 Definition 3 好像更简洁. min 下方的条件虽然有点奇怪, 但也是可接受的.

3.2 投票

与上一节相同.

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这里也只是提供一些建模的思路, 只要能说清楚, 内容没毛病都行.