Moment矩计算公式

平均数与标准方差

这两个数学概念大家都耳熟能详，九年义务教育都涵盖的内容.

假设有数组x， x1,x2,x3…xn, N 为数组的个数
公式如下：
$$\begin{gathered} \mu =\frac{\Sigma x}{N} \\ \sigma =\frac{\Sigma (x-\mu {)}^2}{N} \end{gathered}$$

它也叫做一阶矩和二阶矩

高阶矩

三阶矩和四阶矩公式如下：
$$\begin{gathered} 3rdmoment=\frac{1}{N}\frac{\Sigma (x-\mu {)}^3}{{\sigma }^3} \\ 4thmoment=\frac{1}{N}\frac{\Sigma (x-\mu {)}^4}{{\sigma }^4} \end{gathered}$$
其中$\mu$为一阶矩，$\sigma$为二阶矩

采样评估

很多时候，我们是无法全部统计所有数据的，所以x大多数为我们的采样数据。
此时的N也可能无法确认，我们只能确认的是采样个数n。

所以针对于采样的一阶到四阶的矩的公式如下：
$$\begin{gathered} 1stmoment=\frac{\Sigma x}{n} \\ 2ndmoment=\frac{\Sigma (x-\bar{x}{)}^2}{n-1} \\ 3rdmoment=\frac{n}{(n-1)(n-2)}\frac{\Sigma (x-\bar{x}{)}^3}{s^3} \\ 4thmoment=\frac{n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)}\frac{\Sigma (x-\bar{x}{)}^4}{s^4}-\frac{3(n-1{)}^2}{(n-2)(n-3)} \end{gathered}$$

其中$\bar{x}是采样数据的平均值$， $s$为采样数据的标准差

样例代码

以python为实例代码

import numpy as np

def cal_moments(y, N):
    mu = np.mean(y)
    sigma = np.var(y)

    m2 = np.sum((y - mu)**2)/(N-1)
    m3 = np.sum((y - mu)**3)*N/((N-1)*(N-2)*(sigma**3))
    m4 = np.sum((y - mu)**4)*N*(N+1)/((N-1)*(N-2)*(N-3)*(sigma**4))-(3*(N-1)**2)/((N-2)*(N-3))

    print(mu, m2, m3, m4)
    print(sigma)


N= 2000
x = np.arange(0,N)
y = np.random.randn(N)

cal_moments(y, N)

计算结果

注：numpy里var计算的总体的方差，所以有如下等式
np.var(y) = np.sum((y - mu)**2)/(N), 所以在上诉例子中sigma计算结果跟m2是略有差异的，这个差异就体现在分母减1上。