7、量子计算中的非阿贝尔HSP与Grover搜索算法

量子计算中的非阿贝尔HSP与Grover搜索算法

1. 非阿贝尔HSP概述

阿贝尔隐藏子群问题（HSP）涵盖了许多有趣的计算问题，如周期查找和离散对数问题。然而，也有一些有趣的计算问题可以被表述为具有非阿贝尔群 $G$ 的HSP实例。不幸的是，对于大多数非阿贝尔HSP，我们还没有高效的算法。

1.1 对称群与图同构问题

图同构（GI）问题是一个很好的例子。给定两个无向 $n$ 顶点图 $G_1$ 和 $G_2$，目标是确定是否存在一个双射，将 $G_1$ 的顶点映射到 $G_2$ 的顶点，使得这两个图相等。目前还没有已知的高效经典算法来解决GI问题，因此如果能在量子计算机上高效解决这个问题将非常有意义。

我们可以尝试通过HSP来解决这个问题：
- 令 $G$ 是由 $G_1$ 和 $G_2$ 不相交并集组成的 $2n$ 顶点图。
- 令 $G = S_{2n}$，其中 $S_{2n}$ 是 $2n$ 个元素的对称群。
- 定义函数 $f$，将 $\pi \in S_{2n}$ 映射到 $\pi(G)$，即边 $(i, j)$ 变为边 $(\pi(i), \pi(j))$。
- 令 $H$ 是 $G$ 的自同构群 $Aut(G)$，它是 $S_{2n}$ 中所有将 $G$ 映射到自身的 $\pi$ 的集合。

这就给出了一个HSP实例，解决这个实例将得到 $H = Aut(G)$ 的一个生成集。

如果 $G_1$ 和 $G_2$ 不是同构的，那么 $G$ 的唯一自同构是那些在 $G_1$ 和 $G_2$ 内部置换顶点的自同构，即 $Aut(G) = Aut(G_1) \times