16、基于布鲁克斯 - 伊扬加尔融合的分布式传感算法应用解析

基于布鲁克斯 - 伊扬加尔融合的分布式传感算法应用解析

1. 布鲁克斯 - 伊扬加尔算法的精度与准确性

在传感器数据融合中，故障传感器可能会影响最终结果。为了评估布鲁克斯 - 伊扬加尔算法在存在故障传感器时的性能，我们需要确定其精度和准确性。
- 精度定义 ：精度 $\epsilon_{BY}$ 定义为两个传感器值 $v_i$ 和 $v_j$ 之间的最大差值，即 $\epsilon_{BY} = \max_{i,j} |v_i - v_j|$。这个值可以表示两个拥有故障传感器的用户在融合结果上的差异。
- 准确性定义 ：准确性 $\zeta_{BY}$ 定义为传感器值 $v_i$ 与真实值 $\hat{v}$ 之间的最大差值，即 $\zeta_{BY} = \max_{i} |v_i - \hat{v}|$。

根据相关定理，精度和准确性的边界可以通过以下公式确定：
- 最大可能的精度边界：$\max_{i,j} |v_i - v_j| = \frac{1}{1 + \alpha} (b_g^{N - 2\tau} - a_g^{N - 2\tau})$，其中 $\alpha = \frac{N - \tau}{(2N - \tau)\tau}$，$\tau \leq \frac{N}{3}$，$N$ 是处理元素（PEs）的数量，$\tau$ 是故障 PEs 的数量，$g$ 是非故障 PEs 的集合。
- 准确性边界：$\zeta_{BY} = \max_{i} |v_i - \hat{v}| \leq \min_{\tau + 1} {|v| : v \in g}$，其中 $\min_{\tau + 1} {|v| : v \in g}$ 是所有非故障传感器的第 $(\tau + 1)$ 小测量值的长度。

2. 布鲁克斯 - 伊扬加尔算法的容错能力

当布鲁克斯 - 伊扬加尔算法用作传感器融合方法时，它具有一定的容错能力。该算法可以容忍多达 $N/2$ 个故障传感器，其输出区间的边界由以下条件确定：
如果 $\tau < \lfloor\frac{n + 1}{2}\rfloor$，则输出由 $\min_{2\tau + 1} {|s| : s \in S}$ 界定，其中 $\tau$ 是故障传感器的数量，$n$ 是所有传感器的数量，$\min_{2\tau + 1}$ 是所有输入区间的第 $(2\tau + 1)$ 小值。

3. 区块链架构

典型的区块链架构包含多个不同的层，如共识层、智能合约层、通信层和数据存储抽象层。常见的共识算法包括工作量证明（PoW）、权益证明（PoS）、实用拜占庭容错（PBFT）和委托权益证明（DPoS）等。每种共识算法都有其独特的特点，适用于不同的系统。

布鲁克斯 - 伊扬加尔算法作为拜占庭协议的扩展，也可以用于区块链系统。与大多数基于精确协议的当前区块链系统不同，该算法能够实现近似协议，从而开启了一种新型的区块链系统。例如，当区块由信号或传感器数据组成时，可以使用布鲁克斯 - 伊扬加尔算法来确保分布式网络中的一致性。

此外，时间同步是区块链系统中的另一个问题。当前的区块链时间戳通常来自网络时间协议（NTP），这种时钟源虽然简单，但在区块链应用系统中不够灵活。而布鲁克斯 - 伊扬加尔算法也是一种强大的时间同步算法，可以用作任何区块链系统的时间同步算法，有助于提高容错能力并适应网络错误的不同场景。

以下是区块链架构的主要层和常见共识算法的总结表格：
| 架构层 | 描述 |
| ---- | ---- |
| 共识层 | 确保区块链中不同处理元素达成一致 |
| 智能合约层 | 实现自动化合约执行 |
| 通信层 | 负责节点之间的消息交换 |
| 数据存储抽象层 | 管理区块链数据的存储 |

共识算法	特点	应用系统示例
工作量证明（PoW）	通过计算工作量来达成共识	比特币系统
权益证明（PoS）	根据节点的权益来选择验证者	多种区块链系统
实用拜占庭容错（PBFT）	高效的拜占庭容错算法	Hyperledger 项目
委托权益证明（DPoS）	节点委托代表进行验证	部分区块链系统

下面是一个简单的 mermaid 流程图，展示了布鲁克斯 - 伊扬加尔算法在区块链中的应用流程：

graph LR
    A[传感器数据采集] --> B[布鲁克斯 - 伊扬加尔算法融合]
    B --> C[区块链共识达成]
    C --> D[数据存储到区块链]

4. 基于拜占庭共识的区块链分配建模

系统由一组 $n$ 个异步顺序进程 ${p_{\cdot}}$ 组成，这些进程以各自的计算能力和负载运行，并且可能彼此不同。每个进程的本地处理时间被认为是零，因为它远小于进程之间网络交换消息的延迟。

进程通过异步可靠的点对点网络交换消息进行通信。网络是异步的，即网络延迟不是无限的，但没有预先定义的最大值，并且它保证消息按原样传递，网络中任意一对节点之间的连接是双向的。

5. 基于蒙特卡罗的拜占庭共识问题

在蒙特卡罗共识算法中，两个进程决定相同块的协议是随机化的。也就是说，任意两个连接的进程选择不同块的概率至少为 $\epsilon$，这是每对通信进程在块上达成协议的高阈值概率。

实现蒙特卡罗共识算法的一种方法是限制进程 $p \in P$ 和 $q \in P$ 在非拜占庭块集合 $R = {r_i}_{1}^{k}$ 上进行决策，使得每个 $r_i$ 是拜占庭块的概率为 $\frac{\tau}{n}$，并且进程 $p$ 和 $q$ 以概率 $x_i$ 决定 $r_i$。

在简单的蒙特卡罗共识算法中，$p$ 和 $q$ 选择相同块的概率为：
$Pr[r_1$ 被选择 $\vee r_2$ 被选择 $\vee \cdots \vee r_k$ 被选择 $] = \sum_{i = 1}^{k} Pr[r_i$ 被选择 $] = \sum_{i = 1}^{k} Pr[p$ 选择 $r_i \wedge q$ 选择 $r_i] = \sum_{i = 1}^{k} x_i^2$

因此，协议概率的低阈值为 $\epsilon \leq \sum_{i = 1}^{k} x_i^2$。

6. 模糊拜占庭共识

我们提出了一种使用布鲁克斯 - 伊扬加尔融合算法的新型模糊拜占庭共识方法，用于处理区块链中的拜占庭进程。

假设区块链由一系列连续实例的块 $b_0, b_1, \cdots, b_k$ 组成，其中块 $b_{i + 1}$ 包含块 $b_i$ 的哈希内容，$b_0$ 表示创世块。同时，假设进程 $p_1, p_2, \cdots, p_n$ 创建了一个使用区块链作为分布式数据库的分布式系统，每个进程成为拜占庭进程的概率为 $\mu$。

我们提出了一种基于布鲁克斯 - 伊扬加尔融合算法的解决方案，使进程能够就是否追加新的交易块 $B$ 达成共识。假设每个进程都有 $B$ 的副本和验证其正确性的哈希函数。

每个进程 $p_i$ 对追加 $B$ 的提议诚实地投票为是或否，我们用 $v_i(B)$ 表示进程 $p_i$ 的诚实投票指示。基于拜占庭进程的假设，进程 $p_i$ 对 $B$ 的公开投票用 $\hat{v}_i(B)$ 表示。假设每个拜占庭进程勾结的概率为 $\kappa$，则 $Pr[\hat{v}_i(B) = v_i(B)] = 1 - \kappa\mu$。

使用布鲁克斯 - 伊扬加尔融合函数 $f_{BI}$ 来整合进程 $p_1, p_2, \cdots, p_n$ 的投票，模糊共识为 $f_{BI}[\hat{v}_1(B), \hat{v}_2(B), \cdots, \hat{v}_n(B)]$。

以下是关于模糊共识的两个定理：
- 定理 7.1 ：假设 $n$ 是一个大整数，$\gamma$ 是密码学上有效的块追加提议的比例，且 $\gamma \ll 1$，则进程 $p_1, p_2, \cdots, p_n$ 使用布鲁克斯 - 伊扬加尔融合算法的模糊共识遵循正态分布 $f_{BI}[\hat{v}_1(B), \hat{v}_2(B), \cdots, \hat{v}_n(B)] \sim N(\gamma + \kappa\mu\gamma, \kappa\mu \cdot \gamma)$。
- 定理 7.2 ：假设进程 $p_1, p_2, \cdots, p_n$ 中有 $\mu$ 比例的进程是拜占庭进程，则这些进程使用布鲁克斯 - 伊扬加尔融合算法的模糊共识保证以下精度和召回率：
- 假阴性率：$False\ Negative \leq 0.5 \left[1 - erf\left(\frac{-0.5\mu}{\sqrt{\mu}}\right)\right]$
- 假阳性率：$False\ Positive \leq 0.5 \left[1 - erf\left(\frac{-0.5}{\sqrt{\mu}}\right)\right]$

7. 随机森林分类器

随机森林分类器是由一组树结构分类器 ${h_k(X, \Theta_k), k = 1, 2, \cdots}$ 组成的分类器，其中 ${\Theta_k}$ 是独立同分布的随机向量，每个树在输入 $x$ 时为最流行的类别投一票。

我们定义边缘函数 $\mu(X, Y)$ 为：$\mu(X, Y) = \frac{I[h_k(X) = Y]}{k} - \max_{j \neq Y} \frac{I[h_k(X) = j]}{k}$，其中 $I : U \to {0, 1}$ 是标识符函数。边缘函数的值越高，表示更多的树（平均而言）预测正确的标签 $Y$ 比其他任何标签，因此它直接依赖于所研究分类器集合的置信水平。

只要边缘函数 $\mu(X, Y)$ 为正，即 $\frac{I[h_k(X) = Y]}{k} > \max_{j \neq Y} \frac{I[h_k(X) = j]}{k}$，这意味着选择正确标签的树的数量多于预测任何其他标签的树的数量。因此，分类器集合预测错误类别的条件是且仅当 $\mu(X, Y) < 0$，错误值可以通过 $Pr[\mu(X, Y) < 0]$ 获得。根据大数定律，当随机森林分类器中的树的数量收敛到无穷大时，误差值不会收敛到零，即 $\lim_{k \to +\infty} Error(h_1, \cdots, k) = Pr\left[Pr[h_k(X) = Y] < \max_{j \neq Y} Pr[h_k(X) = j]\right]$。

8. 增强的随机森林回归器

随机森林分类器的思想也适用于回归任务，通过离散化技术可以将回归的因变量建模为多值标签。然而，简单扩展分类器不会得到精确的回归器，因为因变量的离散化误差会在不同的树中累积，导致森林回归器的精度低于原始森林分类器。

我们利用布鲁克斯 - 伊扬加尔融合方法创建了一个更精确的随机森林回归器。增强的随机森林回归器由一组树结构回归器 ${r(X, \Theta_k), k = 1, 2, \cdots}$ 组成，其中 ${\Theta_k}$ 是独立同分布的随机向量，第 $i$ 棵树在输入 $x$ 时给出预测值 $r_i(x) \pm z\sigma_i$，精度为 $1 - erf(z)$，随机森林回归器的预测值等于布鲁克斯 - 伊扬加尔融合函数 $fusion_{BI}(r_1(x) \pm z\sigma_1, r_2(x) \pm z\sigma_2, \cdots)$，具有权重 $w_1, w_2, \cdots$。

我们定义泛化误差函数 $\epsilon(X, Y, r_1, r_2, \cdots, r_n)$ 为：$\epsilon(X, Y, r_1, r_2, \cdots, r_n) = \sqrt{\frac{\sum_{k} w_k \cdot (r_k(X) - Y)^2}{n}}$，其中 $\sum_{k} w_k \cdot (r_k(X) - Y)^2$ 表示森林回归器误差的加权方差。这个值是权重 $w_1, w_2, \cdots$ 的凸函数，并且在多维权重空间中是连续的，因此它会在一组权重 $w_1^ , w_2^ , \cdots$ 下达到全局最小值，我们称之为完美权重。

根据大数定律，当随机森林回归器中的树的数量收敛到无穷大时，误差值不会收敛到零，即 $\lim_{n \to +\infty} \epsilon(X, Y, r_1, r_2, \cdots, r_n) = \sqrt{\lim_{n \to +\infty} \frac{E\left[\sum_{k} w_k^* \cdot (r_k(X) - Y)^2\right]}{n}} < \infty$。

以下是随机森林分类器和回归器的主要特点总结表格：
| 类型 | 组成 | 决策方式 | 误差特性 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 随机森林分类器 | 树结构分类器集合 | 多数投票 | 树数量趋于无穷时误差不收敛到零 |
| 增强随机森林回归器 | 树结构回归器集合 | 布鲁克斯 - 伊扬加尔融合 | 树数量趋于无穷时误差不收敛到零 |

下面是一个 mermaid 流程图，展示了增强随机森林回归器的工作流程：

graph LR
    A[输入数据] --> B[多棵树结构回归器]
    B --> C[布鲁克斯 - 伊扬加尔融合]
    C --> D[输出回归结果]

综上所述，布鲁克斯 - 伊扬加尔算法在传感器数据融合、区块链共识和随机森林模型中都具有重要的应用价值。在传感器融合中，它能够有效地处理故障传感器，提高融合结果的准确性和容错能力；在区块链中，它为实现近似共识和时间同步提供了新的解决方案；在随机森林模型中，它可以增强回归器的精度。这些应用展示了该算法在分布式计算和数据分析领域的潜力，为未来的技术发展提供了有益的参考。

基于布鲁克斯 - 伊扬加尔融合的分布式传感算法应用解析

9. 布鲁克斯 - 伊扬加尔算法的模拟实验

为了验证布鲁克斯 - 伊扬加尔算法的容错能力，进行了一个使用四个传感器测量物理信号的实验。
- 实验设置
- 地面真值信号：$y = \sin(\Omega t)$，其中 $\Omega = 1$，$0 \leq t \leq 1$，采样间隔为 $0.2$。
- 传感器输出：每个传感器输出一个区间 $[v_i - \sigma, v_i + \sigma]$，其中 $v_i$ 是测量值，$\sigma$ 是置信范围。假设 $\overline{v}$ 是地面真值，三个传感器的输出值满足 $|v_i - \overline{v}| \leq X$，且 $X \sim U[0, 0.5]$，即第 $i$ 个测量值 $v_i$ 与 $\overline{v}$ 的距离是连续均匀分布 $U[0, 0.5]$。一个传感器出现故障，$|v_f - \overline{v}| \sim U[0, 2.5]$，其中 $v_f$ 是该传感器的输出值。四个传感器质量相同，置信范围 $\sigma = 0.5$。
- 实验结果
- 将布鲁克斯 - 伊扬加尔算法与简单平均算法在相同条件下运行。结果表明，布鲁克斯 - 伊扬加尔算法的边界始终包含地面真值，而简单平均算法的输出有时会远离地面真值。
- 由于布鲁克斯 - 伊扬加尔算法的边界是包含地面真值的最小边界，不在该边界内的绿色线必然是故障输出，用红色点表示。

实验结果总结表格如下：
| 算法 | 输出与地面真值关系 | 容错表现 |
| ---- | ---- | ---- |
| 布鲁克斯 - 伊扬加尔算法 | 边界始终包含地面真值 | 能有效识别故障输出 |
| 简单平均算法 | 输出有时远离地面真值 | 容错能力较差 |

下面是实验流程的 mermaid 流程图：

graph LR
    A[生成地面真值信号] --> B[传感器测量]
    B --> C[布鲁克斯 - 伊扬加尔算法处理]
    B --> D[简单平均算法处理]
    C --> E[结果对比分析]
    D --> E

10. 总结与展望

共识是分布式计算中的一个基本问题，虽然已被证明是 NP 难题，但人们一直在尝试设计协议来近似达成共识或在各种假设下解决该问题。然而，对其理论影响的探索相对较少，导致现有提案有时被误解，执行过程中出现的问题难以判断是实现错误还是更根本的设计问题。

本文提出了一种使用布鲁克斯 - 伊扬加尔融合算法的模糊拜占庭共识模型，从理论上展示了该方法如何在存在拜占庭进程的情况下处理新块的故障提案。同时，介绍了常见区块链的交易协议、共识算法和基于工作量证明的共识算法。

在实际应用中，如物联网或智能电网等场景中，仅使用一个传感器的普通区块链无法实现数据源的去中心化，使得区块链中的交易值由集中节点控制。而本文引入的布鲁克斯 - 伊扬加尔算法及其在多传感器环境中的应用方法，为数据源的去中心化提供了新的解决方案。

未来，我们可以进一步深入研究布鲁克斯 - 伊扬加尔算法在不同场景下的性能优化，例如在大规模分布式系统中的扩展性、在复杂网络环境下的稳定性等。同时，可以探索该算法与其他新兴技术的结合，如人工智能、机器学习等，以实现更高效、更智能的分布式计算和数据分析。

以下是布鲁克斯 - 伊扬加尔算法应用优势的列表总结：
1. 容错能力强 ：在存在故障传感器或拜占庭进程的情况下，能够有效处理错误数据，保证结果的准确性。
2. 实现近似共识 ：为区块链系统提供了一种实现近似共识的方法，开启了新型区块链系统的可能性。
3. 时间同步灵活 ：作为强大的时间同步算法，可提高区块链系统的容错能力并适应不同网络错误场景。
4. 增强模型精度 ：在随机森林模型中，能够增强回归器的精度，避免过拟合问题。

通过不断的研究和实践，布鲁克斯 - 伊扬加尔算法有望在分布式计算和数据分析领域发挥更大的作用，推动相关技术的发展和应用。