洛谷P1081 开车旅行 总结

本文总结了洛谷P1081题目的解题思路和实现过程,重点讨论了在使用双向链表和倍增算法模拟开车路径时遇到的问题,包括数据输入错误、链表设计不当导致的逻辑错误以及倍增算法的细节处理。通过详细分析错误,最终找到了正确的解决方案。

P1081总结

题目链接

思路:

用双向链表链接海拔相邻的城市,从而在线性复杂度里得到城市的第一/第二近城市,即c1和c2。还有第一/第二近的城市离自己的距离,dis1和dis2.

有了距离后,注意到此题旅行的路径是固定的,不存在选择的机会,而我们要求“模拟”这个开车的方法,从而得到最终到达的城市、小A走的总路程、小B走的总路程。

因此,可以想到使用倍增,在log(n)的复杂度内完成一次开车路径的模拟。

对,就是这样,似乎不麻烦…

但是细节有点多…

实现过程:

第一个卡我的细节(也是最后一个):倍增每次的策略是一样的,所以只能把小A小B各走一次算作一次操作,所以当发现不能再走一步了时,应该看看能不能再走半步,这才是一次完整的路径模拟。

第二个卡点(最悲剧的,最灵异的,最耗时间的):从洛谷上下了一个RE的数据,我没想出来为什么RE,到了本地运行,发现真的RE 了。

RE的原因是输入了900个城市的海拔,但是只有395个被读进了程序。程序只拿到了395个海拔不够,就把后面的x0,x[i],s[i]都当作h[i]读入走了,而395是奇数,于是x[i]和s[i]读反,导致越界。。

但主要问题是,我明明拷贝好了900个海拔(我win+V打开剪贴板检查过),但是复制进了程序就只有395个,

我思考着RE的原因呢,想想怎么也不可能啊,于是去问了老师(主要是我觉得这肯定没有问题,可它就是错了,灵异啊)

老师曰:“灵异事件?有多灵异。灵异事件我的经验大部分都是越界导致的”

后来,明确了我的问题,老师让我把输入后面的部分全部删掉试试。

然而依然不能正常读入

老师又让我把除了输入n和h的部分全部删掉,居然还不行。

最后老师让我新开一个

### P3323 题目描述 P3323 是一道涉及图论和数论的题目,题目的大致描述如下: 给定一个长度为 $ n $ 的正整数序列 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $。需要从中选出若干个区间(可以不连续),使得每个区间的元素满足某种条件。具体来说,对于每个选中的区间 $[l, r]$,要求其内部的所有元素构成一个合法的环状结构,并且满足某些特定的数学关系。 最终的目标是计算出能够选出的符合条件的区间数量或总权重的最大值。 由于该题具有较高的复杂性,通常需要结合图论、动态规划以及数学推导等多种算法思想来解决[^6]。 ### 解题思路 #### 1. **问题分析** - 题目中涉及的“合法环状结构”通常意味着在某个模数意义下存在同余关系。 - 序列中的每个元素可能代表图中的节点,而区间的选择可能对应于图中某条路径的存在性。 - 因此,解题的关键在于如何将原始问题转化为图上的可达性问题或者最短路问题。 #### 2. **建模与转化** - 可以将每个位置 $ i $ 看作图中的一个节点。 - 如果某个区间 $[i, j]$ 满足条件,则可以在节点 $ i $ 和节点 $ j+1 $ 之间建立一条有向边,表示可以从 $ i $ 转移到 $ j+1 $。 - 这样,原问题就转化为在这张图中从起点到终点的路径计数问题或最大权值路径问题。 #### 3. **算法选择** - 使用 **前缀异或** 或 **前缀模运算** 来快速判断某个区间是否满足环形条件。 - 构造一个哈希表或字典,记录当前处理过程中出现过的前缀状态,以便快速查找是否存在满足条件的区间。 - 对于最终的路径统计部分,可以使用 **动态规划**: - 设 $ dp[i] $ 表示以第 $ i $ 个位置为结尾的最优解。 - 状态转移方程可以设计为: $$ dp[i] = \max(dp[j] + w) \quad \text{其中 } [j+1, i] \text{ 是一个合法区间} $$ #### 4. **实现细节** - 使用哈希结构维护当前有效的前缀状态。 - 动态规划时注意初始化边界条件。 - 若题目要求输出方案数,需额外维护一个计数数组。 #### 5. **时间复杂度优化** - 初始暴力做法的时间复杂度可能是 $ O(n^2) $,但通过哈希优化可以降低到 $ O(n) $ 或 $ O(n \log n) $。 --- ### 示例代码(伪代码) ```cpp // 假设 pre_hash 表示前缀状态,dp 表示动态规划数组 unordered_map<int, vector<int>> hash_map; hash_map[0].push_back(0); // 初始状态 for (int i = 1; i <= n; ++i) { int current_state = compute_prefix_state(i); for (int j : hash_map[current_state]) { dp[i] = max(dp[i], dp[j] + weight(j+1, i)); } hash_map[current_state].push_back(i); } ``` ---
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