详解 C语言青蛙跳台阶问题

最新推荐文章于 2022-11-17 23:46:00 发布

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#算法

本文详细分析了青蛙跳台阶问题，从列举思路和斐波那契数列的角度探讨了求解方法，揭示了递归算法的优缺点。通过递归和迭代两种方式实现代码，并对比了它们的效率。最后，文章强调了解决问题时抓住关键点和运用数学模型的重要性。

一.问题表述

二.问题分析

采用列举的思考角度

转化为斐波那契数列

递归算法的利弊分析

三.启示

一.问题表述

一只青蛙要跳上一定数量的台阶，但其一次只能跳一阶或两阶，求这只青蛙跳上n上台阶有多少中跳法？

二.问题分析

因为青蛙每次只能跳一个台阶或两个台阶，因此可先对两种比较简单的情况分析：

跳一个台阶毫无疑问只有一种情况：一次跳一个；

跳两个台阶有两种情况：每次跳一个和一次跳两个；

1.采用列举的思考角度

青蛙跳上n个台阶，对青蛙所跳的每一步的所有情况都穷举出来，即可得到一共有多少种跳法。此过程可用递归来完成。以跳上六个台阶为例：（图示）

如图，青蛙每一步的每种情况都被列了出来，最后只要数出最终结果即为

2+1+2+2+1+2+1+2=13（上图中2中还有两种情况，如前文所说）

从上图可以看出每次跳跃无非使得剩余台阶数-1或-2，且易知最终都会回到剩余1个或剩余2个台阶的状况，因此我们可以以这两个情况作为递归算法的两个最终返回情况，即让f(1)=1,f(2)=2。

设这个递归算法的函数为f(x),如图2：

利用递归可让电脑完成上述自己列举,即自己一个个展开再求和的过程，并最终得到返回值。

从这个角度，我们写出代码：

小结：这个是从数学角度，对青蛙每一步所有情况进行列举并统计的方式。

2.转化为类斐波那契数列

青蛙跳一个台阶有一种跳法

青蛙跳两个台阶有两种跳法

青蛙跳三个台阶？

青蛙跳三个台阶，它第一跳无非两种情况：跳一阶和跳两阶

若跳了一阶，则还剩两阶，那么就是跳两个台阶的情况；

若跳了两阶，则还剩一阶，那么就是跳一个台阶的情况；

因此跳三个台阶时相当于先分类再相加前两种情况

即跳三个台阶=跳一个台阶+跳两个台阶。

同理，青蛙跳四个台阶：

若跳了一阶，则还剩三阶，那么就是跳三个台阶的情况；

若跳了两阶，则还剩两阶，那么就是跳两个台阶的情况；

即跳四个台阶=跳两个台阶+跳三个台阶。

再来，青蛙跳五个台阶：

若跳了一阶，则还剩四阶，那么就是跳四个台阶的情况；

若跳了两阶，则还剩三阶，那么就是跳三个台阶的情况；

即跳五个台阶=跳三个台阶+跳四个台阶。

........

既然跳n个台阶的种数可以等于跳n-1个台阶的种数加上跳n-2个台阶的种数，那么可以将这个问题转换为类似斐波那契数列来解决。即n=n-1+n-2

而对于求第n个斐波那契数列的数，我们一般有两种解决方式：递归与迭代

递归方式：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1 //vs2019为使用scanf函数所用。
#include <stdio.h>
int f(int n)
{
	if (n == 1)
	{
		return 1;
	}
	else if (n == 2)
	{
		return 2;
	}
	else if (n > 2)
	{
		return f(n - 1) + f(n - 2);//递归
	}

}
int main()
{
	printf("青蛙要跳几个台阶=>");
	int a = 0;
	scanf("%d", &a);
	printf("青蛙会有几种跳法=>");
	printf("%d", f(a));

}

其实这个代码与上面所用从列举角度写出的代码一样，但理解方式是不同的。即一种代码的两种不同理解。

迭代方式：

斐波那契数列怎么用循环来解决呢？

我们知道斐波那契无非是前两个数相加等于第三个数，而前一个数又是它的前两个数之和。

那么我们可以这样思考：（如图所示）

图中看出a + b = c 整体不断往后一个一个数字推移，那么如何让电脑实现这个过程呢？

我们把一个个a + b = c 整体往后推的同时对整齐，上图可以发现，用一个循环，每次循环让a等于上一次的b，让b等于上一次的c，就可以让a + b = c 整体抽象地不断往后推，最后输出c的值即可。

（上图所用为常规斐波那契数列，注意我们讨论的青蛙跳台阶问题第二个数应当是2）

那么便可以写出代码：

int f(int n)
{
	int a = 1;
	int b = 2;
	int c = 0;
	while (n > 2)
	{
		c = a + b;
		a = b;
		b = c;
		n--;//每次循环n减1，一直到n<=2时循环停止
	}
	return c;
	if (n <= 2)
	{
		return n;
	}
}
int main()
{
	printf("青蛙要跳几个台阶=>");
	int a = 0;
	scanf("%d", &a);
	printf("青蛙会有几种跳法=>");
	printf("%d", f(a));
	return 0;
}