原码、反码和补码

 

在计算机内，定点数有3种表示法：原码、反码和补码

所谓原码就是前面所介绍的二进制定点表示法，即最高位为符号位，“0”表示正，“1”表示负，其余位表示数值的大小。

   反码表示法规定：正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外。

补码表示法规定：正数的补码与其原码相同；负数的补码是在其反码的末位加1。

1、原码、反码和补码的表示方法

（1）    原码：在数值前直接加一符号位的表示法。

例如：      符号位 数值位

[+7]原=   0    0000111 B

[-7]原=   1    0000111 B

     注意：a. 数0的原码有两种形式：

             [+0]原=00000000B    [-0]原=10000000B

           b. 8位二进制原码的表示范围：-127～+127

（2）反码：

     正数：正数的反码与原码相同。

     负数：负数的反码，符号位为“1”，数值部分按位取反。

例如：     符号位 数值位

     [+7]反= 0   0000111 B

     [-7]反= 1   1111000 B

注意：a. 数0的反码也有两种形式，即

         [+0]反=00000000B

         [- 0]反=11111111B

      b. 8位二进制反码的表示范围：-127～+127

（3）补码的表示方法

1）模的概念：把一个计量单位称之为模或模数。例如，时钟是以12进制进行计数循环的，即以12为模。在时钟上，时针加上（正拨）12的整数位或减去（反拨）12的整数位，时针的位置不变。14点钟在舍去模12后，成为（下午）2点钟（14=14-12=2）。从0点出发逆时针拨10格即减去10小时，也可看成从0点出发顺时针拨2格（加上2小时），即2点（0-10=-10=-10+12=2）。因此，在模12的前提下，-10可映射为+2。由此可见，对于一个模数为12的循环系统来说，加2和减10的效果是一样的；因此，在以12为模的系统中，凡是减10的运算都可以用加2来代替，这就把减法问题转化成加法问题了（注：计算机的硬件结构中只有加法器，所以大部分的运算都必须最终转换为加法）。10和2对模12而言互为补数。

同理，计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制（假设字长为8），因此它的运算也是一种模运算。当计数器计满8位也就是256个数后会产生溢出，又从头开始计数。产生溢出的量就是计数器的模，显然，8位二进制数，它的模数为2⁸=256。在计算中，两个互补的数称为“补码”。

 

2）补码的表示：

    正数：正数的补码和原码相同。

    负数：负数的补码则是符号位为“1”，数值部分按位取反后再在末位（最低位）加1。也就是“反码+1”。

例如：       符号位 数值位

      [+7]_补=   0   0000111 B

      [-7]_补=   1   1111001 B

补码在微型机中是一种重要的编码形式，请注意：

a.             采用补码后，可以方便地将减法运算转化成加法运算，运算过程得到简化。正数的补码即是它所表示的数的真值，而负数的补码的数值部份却不是它所表示的数的真值。采用补码进行运算，所得结果仍为补码。

b.            与原码、反码不同，数值0的补码只有一个，即       [0]补=00000000B。

c.             若字长为8位，则补码所表示的范围为-128～+127；进行补码运算时，应注意所得结果不应超过补码所能表示数的范围。

2．原码、反码和补码之间的转换

由于正数的原码、补码、反码表示方法均相同，不需转换。

在此，仅以负数情况分析。

（1）    已知原码，求补码。

例：已知某数X的原码为10110100B，试求X的补码和反码。

解：由[X]_原=10110100B知，X为负数。求其反码时，符号位不变，数值部分按位求反；求其补码时，再在其反码的末位加1。

1 0 1 1 0 1 0 0   原码

 

1 1 0 0 1 0 1 1   反码，符号位不变，数值位取反

                     1   +1

1 1 0 0 1 1 0 0   补码

故：[X]_补=11001100B，[X]_反=11001011B。

（2）    已知补码，求原码。

分析：按照求负数补码的逆过程，数值部分应是最低位减1，然后取反。但是对二进制数来说，先减1后取反和先取反后加1得到的结果是一样的，故仍可采用取反加1 有方法。

例：已知某数X的补码11101110B，试求其原码。

解：由[X]_补=11101110B知，X为负数。求其原码表示时，符号位不变，数值部分按位求反，再在末位加1。

1 1 1 0 1 1 1 0   补码

 

1 0 0 1 0 0 0 1   符号位不变，数值位取反

                     1   +1

1 0 0 1 0 0 1 0   原码

1．3．2 有符号数运算时的溢出问题

请大家来做两个题目：

两正数相加怎么变成了负数？？？

1）（+72）+（+98）=？

0 1 0 0 1 0 0 0 B    +72

     + 0 1 1 0 0 0 1 0 B    +98

        1 0 1 0 1 0 1 0 B    -42

两负数相加怎么会得出正数？？？

2）（-83）+（-80）=？

1 0 1 0 1 1 0 1 B    -83

     + 1 0 1 1 0 0 0 0 B    -80

        0 1 0 1 1 1 0 1 B    +93

  思考：这两个题目，按照正常的法则来运算，但结果显然不正确，这是怎么回事呢？

   答案：这是因为发生了溢出。

如果计算机的字长为n位，n位二进制数的最高位为符号位，其余n-1位为数值位，采用补码表示法时，可表示的数X的范围是   -2^n-1≤X≤2^n-1-1

当n=8时，可表示的有符号数的范围为-128～+127。两个有符号数进行加法运算时，如果运算结果超出可表示的有符号数的范围时，就会发生溢出，使计算结果出错。很显然，溢出只能出现在两个同符号数相加或两个异符号数相减的情况下。

对于加法运算，如果次高位（数值部分最高位）形成进位加入最高位，而最高位（符号位）相加（包括次高位的进位）却没有进位输出时，或者反过来，次高位没有进位加入最高位，但最高位却有进位输出时，都将发生溢出。因为这两种情况是：两个正数相加，结果超出了范围，形式上变成了负数；两负数相加，结果超出了范围，形式上变成了正数。

而对于减法运算，当次高位不需从最高位借位，但最高位却需借位（正数减负数，差超出范围），或者反过来，次高位需从最高位借位，但最高位不需借位（负数减正数，差超出范围），也会出现溢出。