动态规划系列之一引言：由一个问题引出的算法

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本文通过一个具体的最短路径问题，介绍了如何利用动态规划算法进行高效求解，并对比了深度优先搜索法，展示了动态规划算法的时间复杂度优势。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

http://iprai.hust.edu.cn/icl2002/algorithm/algorithm/technique/dynamic_programming/introduction.htm

引言——由一个问题引出的算法

考虑以下问题

[例1] 最短路径问题

现有一张地图，各结点代表城市，两结点间连线代表道路，线上数字表示城市间的距离。如图1所示，试找出从结点A到结点E的最短距离。

图 1

我们可以用深度优先搜索法来解决此问题，该问题的递归式为

其中是与v相邻的节点的集合，w(v,u)表示从v到u的边的长度。

具体算法如下：

function MinDistance(v):integer;
begin
 if v=E then return 0
  else
   begin
    min:=maxint;
    for 所有没有访问过的节点i do
     if v和i相邻 then 
      begin
        标记i访问过了;
        t:=v到i的距离+MinDistance(i);
        标记i未访问过;        
        if t<min then min=t;
      end;  
   end;
end;

开始时标记所有的顶点未访问过，MinDistance(A)就是从A到E的最短距离。

这个程序的效率如何呢？我们可以看到，每次除了已经访问过的城市外，其他城市都要访问，所以时间复杂度为O(n!)，这是一个“指数级”的算法，那么，还有没有更好的算法呢？

首先，我们来观察一下这个算法。在求从B1到E的最短距离的时候，先求出从C2到E的最短距离；而在求从B2到E的最短距离的时候，又求了一遍从C2到E的最短距离。也就是说，从C2到E的最短距离我们求了两遍。同样可以发现，在求从C1、C2到E的最短距离的过程中，从D1到E的最短距离也被求了两遍。而在整个程序中，从D1到E的最短距离被求了四遍。如果在求解的过程中，同时将求得的最短距离"记录在案"，随时调用，就可以避免这种情况。于是，可以改进该算法，将每次求出的从v到E的最短距离记录下来，在算法中递归地求MinDistance(v)时先检查以前是否已经求过了MinDistance(v)，如果求过了则不用重新求一遍，只要查找以前的记录就可以了。这样，由于所有的点有n个，因此不同的状态数目有n个，该算法的数量级为O(n)。

更进一步，可以将这种递归改为递推，这样可以减少递归调用的开销。

请看图1，可以发现，A只和B_i相邻，B_i只和C_i相邻,...，依此类推。这样，我们可以将原问题的解决过程划分为4个阶段，设S₁={A},S₂={B₁,B₂},S₃={C₁,C₂,C₃,C₄},S₄={D₁,D₂,D₃}，F_k(u)表示从S_k中的点u到E的最短距离，则

并且有边界条件

显然可以递推地求出F₁(A)，也就是从A到E的最短距离。这种算法的复杂度为O(n)，因为所有的状态总数（节点总数）为n，对每个状态都只要遍历一次，而且程序很简洁。

具体算法如下：

procedure DynamicProgramming;
 begin
  F5[E]:=0;
  for i:=4 downto 1 do
     for each u ∈Sk do
      begin
       Fk[u]:=无穷大;
       for each v∈Sk+1∩δ(u) do
         if Fk[u]>w(u,v)+Fk+1[v] then Fk[u]:=w(u,v)+Fk+1[v];
   end;
  输出F1[A]; 
 end;

这种高效算法，就是动态规划算法。

以下是上述两个算法的具体实现

#include <fstream>
ifstream fin("in.txt");
#define maxLength 20
#define maxPath 20
#define MAX 1000000
int matrix[maxLength][maxLength];//有向图临界表
int minPath[maxPath];//存储每个节点到终点的最短路径
int trace[maxLength];//记录下最短路径
int v_n;//节点个数
int visited[maxLength];
int MinDistance_1(int v)
{
	if(v==v_n-1)
	{
		return 0;
	}
	int min=MAX,t,j;
	for(int i=v+1;i<=v_n-1;i++)//所有没有访问过的节点i
	{
		if(!visited[i]&&matrix[v][i]!=0)//如果没有访问过的节点i
		{
			visited[i]=true;
			t=matrix[v][i]+MinDistance_1(i);
			visited[i]=false;
			if(t<min)
				min=t;
		}
	}
	return min;
}
int MinDistance(int v)
{
	if(minPath[v]>0)//记忆化搜索  存储的是每个节点到终点的最短路径
		return minPath[v];
	if(v==v_n-1)
		return 0;//边界值
	int min=1000,t,j;
	for(int i=v+1;i<v_n;i++)
	{
		if(matrix[v][i]>0)
		{
			t=matrix[v][i]+MinDistance(i);
			if(min>t)
			{
				min=t;
				j=i;
			}
		}
	}
	minPath[v]=min;
	trace[v]=j;//trace[i]的值为其下一个节点的值
	return minPath[v];
}
int main()
{
	fin>>v_n;
	for(int i=0;i<v_n;i++)
	{
		for(int j=0;j<v_n;j++)
		{
			fin>>matrix[i][j];
			cout<<matrix[i][j]<<"-";
		}
		cout<<endl;
	}
	memset(visited,0,sizeof(int)*maxLength);
	memset(minPath,0,sizeof(int)*maxLength);
	memset(trace,0,sizeof(int)*maxLength);
	int minD=MinDistance_1(0);

	cout<<"最短路径为:"<<minD<<endl;
	return 0;
}