背包问题 01背包详解及其实现 空间压缩技术 对应于背包九讲之一

最新推荐文章于 2025-02-11 15:42:17 发布
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分类专栏： 动态规划 算法分析

http://blog.youkuaiyun.com/wumuzi520/article/details/7014559

01背包是在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的体积为C1，C2，…，Cn，与之相对应的价值为W1,W2，…，Wn.求解将那些物品装入背包可使总价值最大。

        动态规划（DP）：

        1） 子问题定义：F[i][j]表示前i件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包中所能得到的最大价值。

        2） 根据第i件物品放或不放进行决策

                                                  (1-1)

        其中F[i-1][j]表示前i-1件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包中所能得到的最大价值；

        而F[i-1][j-C[i]]+W[i]表示前i-1件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j-C[i]的背包中所能取得的最大价值加上第i件物品的价值。

        根据第i件物品放或是不放确定遍历到第i件物品时的状态F[i][j]。

        设物品件数为N，背包容量为V，第i件物品体积为C[i]，第i件物品价值为W[i]。

        由此写出伪代码如下：

     F[0][] ← {0}

     F[][0] ← {0}

     for i←1 to N

         do for k←1 to V

             F[i][k] ← F[i-1][k]

             if(k >= C[i])

                 then F[i][k] ← max(F[i][k],F[i-1][k-C[i]]+W[i])

     return F[N][V]


以上伪代码数组均为基于1索引，及第一件物品索引为1。时间及空间复杂度均为O(VN)

        举例：表1-1为一个背包问题数据表，设背包容量为10根据上述解决方法可得到对应的F[i][j]如表1-2所示，最大价值即为F[6][10].

表1-1背包问题数据表

物品号i123456
体积C231465
价值W5651197

表1-2前i件物品选若干件放入空间为j的背包中得到的最大价值表

 012345678910
000000000000
100555555555
2056611111111111111
30551011111616161616
40551011111616161617
50551011111924242930
60551011111924242930

         很多文章讲背包问题时只是把最大价值求出来了，并没有把所选的是哪些物品找出来。本人在学习背包问题之前遇到过很多的类似问题，当时也是只求得了最大价值或最大和，对具体哪些物品或路径等细节也束手无策。再次和大家一起分享细节的求法。

        根据算法求出的最大价值表本身其实含有位置信息，从F[N][V]逆着走向F[0][0]，设i=N,j=V，如果F[i][j]==F[i-1][j-C[i]]+W[i]说明包里面有第i件物品，同时j -= C[i]，不管F[i][j]与F[i-1][j-C[i]]+W[i]相不相等i都要减1，因为01背包的第i件物品要么放要么不放，不管放还是不放其已经遍历过了，需要继续往下遍历。

打印背包内物品的伪代码如下：

     i←N

     j←V

     while(i>0 && j>0)

         do if(F[i][j]=F[i-1][j-C[i]]+W[i])

             then Print W[i]

                  j←j-C[i]

         i←i-1


 

当然也可以定义一个二维数组Path[N][V]来存放背包内物品信息，开始时Path[N][V]初始化为0,当 F[i][j]==F[i-1][j-C[i]]+W[i]时Path[i][j]置1。最后通过从Path[N+1][V+1]逆着走向Path[0][0]来获取背包内物品。其中Path[0][]与Path[][0]为边界。
 
        加入路径信息的伪代码如下：


 

     F[0][] ← {0}

     F[][0] ← {0}

     Path[][] ← 0

     for i←1 to N

         do for k←1 to V

             F[i][k] ← F[i-1][k]

             if(k >= C[i] && F[i][k] < F[i-1][k-C[i]]+W[i])

                 then F[i][k] ← F[i-1][k-C[i]]+W[i]

                      Path[i][k] ← 1

     return F[N][V] and Path[][]


打印背包内物品的伪代码如下：

     i←N

     j←V

     while(i>0 && j>0)

         do if(Path[i][j] = 1)

             then Print W[i]

                  j←j-C[i]

         i←i-1


 

    在时间及空间复杂度均为O(NV)的情况下，利用Path[][]的方法明显比直接通过F[i][j]==F[i-1][j-C[i]]+W[i]来打印物品耗费空间，Path[][]需要额外的空间O(NV)但总空间复杂度不变仍为O(NV)。但下面要讲到的O(V)的空间复杂度的方法却不能利用关系式F [j]==F [j-C[i]]+W[i]而只能利用Path[][]进行标记.

接下来考虑如何压缩空间，以降低空间复杂度。

时间复杂度为O(VN)，空间复杂度将为O（V）

        观察伪代码可也发现，F[i][j]只与F[i-1][j]和F[i-1][j-C[i]]有关，即只和i-1时刻状态有关，所以我们只需要用一维数组F[]来保存i-1时的状态F[]。假设i-1时刻的F[]为{a0，a1，a2，…，av}，难么i时刻的F[]中第k个应该为max(ak,ak-C[i]+W[i])即max(F[k],F[k-C[i]]+W[i])，这就需要我们遍历V时逆序遍历，这样才能保证求i时刻F[k]时F[k-C[i]]是i-1时刻的值。如果正序遍历则当求F[k]时其前面的F[0],F[1]，…，F[K-1]都已经改变过，里面存的都不是i-1时刻的值，这样求F[k]时利用F[K-C[i]]必定是错的值。最后F[V]即为最大价值。

求F[j]的状态方程如下：

                                           (1-2)

伪代码如下：

     F[] ← {0}

     for i ← 1 to N

         do for k ← V to C[i]

             F[k] ← max(F[k],F[k-C[i]]+W[i])

     return F[V]


同样，怎么求路径？

        利用前面讲到的Path[][]标记，需空间消耗O(NV)。这里不能用F [j]==F [j-C[i]]+W[i]来判断是因为一维数组并不能提供足够的信息来寻找二维路径。

        加入路径信息的伪代码如下：

     F[] ← {0}

     Path[][]←0

     for i←1 to N

         do for k←V to C[i]

            if(F[k] < F[k-C[i]]+W[i])

                 then F[k] ← F[k-C[i]]+W[i]

                      Path[i][k] ← 1

     return F[V] and Path[][]


 

打印路径的伪代码和前面未压缩空间复杂度时的伪代码一样，这里不再重写。

下面针对前面提到的表1-1提供两种方法的测试代码： 

#include <iostream>
#include <cstring>
#include "CreateArray.h"	//该头文件用于动态创建及销毁二维数组，读者自己实现
using namespace std;


 

//时间复杂度O(VN),空间复杂度为O(VN)


 

int Package01(int Weight[], int Value[], int nLen, int nCapacity)
{
	int** Table = NULL;
	int** Path = NULL;
	CreateTwoDimArray(Table,nLen+1,nCapacity+1);	//创建二维数组
	CreateTwoDimArray(Path,nLen+1,nCapacity+1);	//创建二维数组
	
	for(int i = 1; i <= nLen; i++)
	{
		for(int j = 1; j <= nCapacity; j++)
		{
			Table[i][j] = Table[i-1][j];
			Path[i][j] = 0;
			if(j >= Weight[i-1] && Table[i][j] < Table[i-1][j-Weight[i-1]]+Value[i-1])
			{
				Table[i][j] = Table[i-1][j-Weight[i-1]]+Value[i-1];
				Path[i][j] = 1;
			}
		}
	}

	int i = nLen, j = nCapacity;
	while(i > 0 && j > 0)
	{
		if(Path[i][j] == 1)
		{
			cout << Weight[i-1] << " ";
			j -= Weight[i-1];
		}
		i--;
	}
	cout << endl;

	int nRet = Table[nLen][nCapacity];
	DestroyTwoDimArray(Table,nLen+1);	//销毁二维数组
	DestroyTwoDimArray(Path,nLen+1);	//销毁二维数组
	return nRet;
}

 


//时间复杂度O(VN)，不考虑路径空间复杂度为O(V)，考虑路径空间复杂度为O(VN)

int Package01_Compress(int Weight[], int Value[], int nLen, int nCapacity)
{
	int * Table = new int [nCapacity+1];
	memset(Table,0,(nCapacity+1)*sizeof(int));
	int** Path = 0;
	CreateTwoDimArray(Path,nLen+1,nCapacity+1);	//创建二维数组

	for(int i = 0; i < nLen; i++)
	{
		for(int j = nCapacity; j >= Weight[i]; j--)
		{
			Path[i+1][j] = 0;
			if(Table[j] < Table[j-Weight[i]]+Value[i])
			{
				Table[j] = Table[j-Weight[i]]+Value[i];
				Path[i+1][j] = 1;
			}
		}	
	}

	int i = nLen, j = nCapacity;
	while(i > 0 && j > 0)
	{
		if(Path[i][j] == 1)
		{
			cout << Weight[i-1] << " ";
			j -= Weight[i-1];
		}

		i--;
	}
	cout << endl;
	
	int nRet = Table[nCapacity];
	DestroyTwoDimArray(Path,nLen+1);	//销毁二维数组
	delete [] Table;
	return nRet;
}

本文部分内容参考“背包九讲”

以下是我重写了上面的代码 进行了一部分简化：

实现了上述的所有的伪码所描述的算法：

#define N 5
#define W 5
int Weight[]={-1,4,2,1,3,4};
int value[]={-1,19,29,11,23,11};
int Path[N+1][W+1];
int Table[N+1][W+1];
int Table1[W+1];
int Package01_1()
{
	memset(Table1,0,sizeof(int)*(W+1));
	for(int i=0;i<N+1;i++)
	{
		for(int j=0;j<W+1;j++)
		{
			Path[i][j]=0;
		}
	}
	for(int i=1;i<N;i++)
	{
		for(int j=W;j>=Weight[i];j--)
		{
			if(Table1[j]<Table1[j-Weight[i]]+value[i])
			{
				Table1[j]=Table1[j-Weight[i]]+value[i];
				Path[i][j]=1;
			}
		}
	}
	int i=N,j=W;
	cout<<"该进版本:"<<endl;
	while(i>0&&j>0)
	{
		if(Path[i][j]==1)
		{
			cout<<i<<" ";
			j-=Weight[i];
		}
		i--;
	}
	cout<<endl;
	return Table1[W];
}


///重量数组， 价值数组，数据个数，横坐标长度
int Package01()
{
	for(int i=0;i<N+1;i++)
	{
		for(int j=0;j<W+1;j++)
		{
			Table[i][j]=-1;
			Path[i][j]=0;
		}
	}
	for(int i=0;i<W+1;i++)
	{
		Table[0][i]=0;
	}
	for(int j=0;j<N+1;j++)
	{
		Table[j][0]=0;
	}
	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
		for(int j=1;j<=W;j++)
		{
			if(j<Weight[i])
			{
				Table[i][j]=Table[i-1][j];
			}
			else
			{
				int t1=Table[i-1][j];
				int t2=Table[i-1][j-Weight[i]]+value[i];
				if(t2>t1)
					Path[i][j]=1;
				Table[i][j]=t1>t2?t1:t2;
			}
		}
	}
	return Table[N][W];
}
void Print()
{
	int i=N;
	int j=W;
	while(i>0&&j>0)
	{
		if(Path[i][j]==1)
		{
			cout<<i<<" ";
			j-=Weight[i];
		}
		i--;
	}
}
void Print_1()
{
	int i=N;
	int j=W;
	while(i>0&&j>0)
	{
		if(Table[i-1][j-Weight[i]]+value[i]==Table[i][j])
		{
			cout<<i<<" ";
			j-=Weight[i];
		}
		i--;
	}
}

 int main()
 {
	 cout<<"没有改进版本:"<<endl;
	 cout<<Package01()<<endl;
	Print();
	 cout<<endl;
	 Print_1();
	 cout<<endl;

	 cout<<Package01_1()<<endl;
	 return 0;
 }


 


#define N 5
#define W 5
int Weight[]={-1,4,2,1,3,4};
int value[]={-1,19,29,11,23,11};
int Path[N+1][W+1];
int Table[N+1][W+1];
int Table1[W+1];
int Package01_1()
{
	memset(Table1,0,sizeof(int)*(W+1));
	for(int i=0;i<N+1;i++)
	{
		for(int j=0;j<W+1;j++)
		{
			Path[i][j]=0;
		}
	}
	for(int i=1;i<N;i++)
	{
		for(int j=W;j>=Weight[i];j--)
		{
			if(Table1[j]<Table1[j-Weight[i]]+value[i])
			{
				Table1[j]=Table1[j-Weight[i]]+value[i];
				Path[i][j]=1;
			}
		}
	}
	int i=N,j=W;
	cout<<"该进版本:"<<endl;
	while(i>0&&j>0)
	{
		if(Path[i][j]==1)
		{
			cout<<i<<" ";
			j-=Weight[i];
		}
		i--;
	}
	cout<<endl;
	return Table1[W];
}


///重量数组， 价值数组，数据个数，横坐标长度
int Package01()
{
	for(int i=0;i<N+1;i++)
	{
		for(int j=0;j<W+1;j++)
		{
			Table[i][j]=-1;
			Path[i][j]=0;
		}
	}
	for(int i=0;i<W+1;i++)
	{
		Table[0][i]=0;
	}
	for(int j=0;j<N+1;j++)
	{
		Table[j][0]=0;
	}
	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
		for(int j=1;j<=W;j++)
		{
			if(j<Weight[i])
			{
				Table[i][j]=Table[i-1][j];
			}
			else
			{
				int t1=Table[i-1][j];
				int t2=Table[i-1][j-Weight[i]]+value[i];
				if(t2>t1)
					Path[i][j]=1;
				Table[i][j]=t1>t2?t1:t2;
			}
		}
	}
	return Table[N][W];
}
void Print()
{
	int i=N;
	int j=W;
	while(i>0&&j>0)
	{
		if(Path[i][j]==1)
		{
			cout<<i<<" ";
			j-=Weight[i];
		}
		i--;
	}
}
void Print_1()
{
	int i=N;
	int j=W;
	while(i>0&&j>0)
	{
		if(Table[i-1][j-Weight[i]]+value[i]==Table[i][j])
		{
			cout<<i<<" ";
			j-=Weight[i];
		}
		i--;
	}
}

 int main()
 {
	 cout<<"没有改进版本:"<<endl;
	 cout<<Package01()<<endl;
	Print();
	 cout<<endl;
	 Print_1();
	 cout<<endl;

	 cout<<Package01_1()<<endl;
	 return 0;
 }


本文部分内容参考“背包九讲”本文部分内容参考“背包九讲”本文部分内容参考“背包九讲”

 

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