UVa 12483 Toboggan of Marbles

原创于 2025-12-04 11:54:09 发布 · 700 阅读

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#算法 #c++ #青少年编程

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题目描述

一家工厂要生产一种弹珠滑梯玩具。该玩具由两根垂直的木杆和一些小的刚性挡板组成。挡板交替连接在左右木杆上：奇数挡板连接在左杆，偶数挡板连接在右杆。一颗小弹珠从最高处的挡板落下，在重力作用下沿着挡板滑动，最终离开玩具。

工厂主已经完成了玩具的设计，包括每个挡板的尺寸、位置和倾斜角度。成千上万个玩具正在中国生产，工厂经理被要求购买弹珠。然而，在订购成千上万颗弹珠之前，他想知道弹珠的最大直径，以确保弹珠不会卡在玩具中间。

工厂经理希望你能编写一个程序，根据玩具规格，确定弹珠能到达玩具末端而不被卡住的最大直径。

输入格式

输入包含多个测试用例。每个测试用例的第一行包含一个整数 $N$ ，表示玩具的挡板数量。第二行包含两个整数 $L$ 和 $H$ ，分别表示两根木杆之间的距离和木杆的高度。左侧木杆位于 $X$ 轴的位置 $0$ ，因此右侧木杆位于 $X$ 轴的位置 $L$ 。

接下来的 $N$ 行描述每个挡板。挡板从高到低描述，交替描述它们所连接的木杆。最高的挡板（第一个被描述的）一端连接到左侧木杆，第二高的挡板（第二个被描述的）一端连接到右侧木杆，依此类推。奇数挡板连接到左侧木杆，偶数挡板连接到右侧木杆。

每行描述一个挡板，包含三个整数 $Y_i$ 、 $X_f$ 和 $Y_f$ 。 $X_f, Y_f)$ 表示挡板自由端（未连接端）的坐标。奇数挡板连接端的坐标为 $0, Y_i)$ ，偶数挡板连接端的坐标为 $L, Y_i)$ 。

对于所有挡板， $Y_i > Y_f$ （即挡板起点和终点之间存在斜率），且挡板的长度小于玩具的宽度。此外，对于两个连续的挡板 $A$ 和 $B$ ， $YfA≥YiBY_{fA} \geq Y_{iB}$ （即挡板 $A$ 的终点高度大于等于挡板 $B$ 的起点高度）。假设挡板非常薄，其厚度可以忽略不计。

输出格式

对于每个测试用例，输出一行，包含一个精确到两位小数的数字，表示弹珠能够到达玩具末端而不卡住的最大直径。

限制条件

$\leq N \leq 10^3$
$\leq L \leq 10^3$
$\leq H \leq 10^3$
$0 < X_f < L$
$\leq Y_i \leq H, \, 0 \leq Y_f \leq H$ 且 $Y_i > Y_f$

样例输入

样例输出

2.00
1.41

题目分析与解题思路

问题分析

弹珠在滑梯中运动时可能被卡住的两种情况：

弹珠与侧壁之间的空隙 ：弹珠在挡板上滚动时，不能撞到对侧的木杆。因此，弹珠直径必须小于等于挡板自由端到对侧木杆的水平距离。
相邻挡板之间的过渡 ：弹珠从挡板 $A$ 的自由端落到挡板 $B$ 上。最狭窄的地方是挡板 $A$ 的自由端（一个点）到挡板 $B$ 整个线段的最短距离。这是因为弹珠要落到挡板 $B$ 上，不能撞到挡板 $B$ 的侧面或上表面。

数学模型

1. 自由端到对侧木杆的距离

对于每个挡板 $i$ （从 $0$ 开始编号）：

如果 $i$ 是偶数（对应题目中的奇数挡板，连接在左杆）：自由端在右侧，距离 = $L - X_f$
如果 $i$ 是奇数（对应题目中的偶数挡板，连接在右杆）：自由端在左侧，距离 = $X_f$

弹珠的最大直径必须小于等于这个距离。

2. 点到线段的最短距离

对于相邻挡板 $i$ 和 $i + 1$ ：

点 $P$ = 挡板 $i$ 的自由端 $X_{f_i}, Y_{f_i})$
线段 $S$ = 挡板 $i + 1$ ，从固定端到自由端
固定端：如果 $i + 1$ 是偶数，为 $0, Y_{i+1})$ ；如果 $i + 1$ 是奇数，为 $L, Y_{i+1})$ – 自由端： $X_{f_{i+1}}, Y_{f_{i+1}})$

我们需要计算点 $P$ 到线段 $S$ 的最短距离。这是一个标准的几何问题，可以通过以下步骤计算：

计算线段的方向向量 $v⃗=(x2−x1,y2−y1)\vec{v} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$
如果线段退化为点（方向向量长度为 $0$ ），则直接计算两点距离
计算点 $P$ 到线段所在直线的投影参数 $t$ ：
$\frac{(P_x - x_1)(x_2 - x_1) + (P_y - y_1)(y_2 - y_1)}{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
限制 $t$ 在 $[0, 1]$ 范围内：
- 如果 $t < 0$ ，则最近点是线段起点
- 如果 $t > 1$ ，则最近点是线段终点
- 否则，最近点在线段上
计算最近点坐标，然后计算点 $P$ 到该点的距离

算法步骤

读取输入数据，存储每个挡板的固定端坐标和自由端坐标
初始化最大直径 $min D iam e t er$ 为一个很大的值
对于每个挡板，计算自由端到对侧木杆的距离，更新 $min D iam e t er$
对于每对相邻挡板，计算前一个挡板自由端到后一个挡板线段的最短距离，更新 $min D iam e t er$
输出 $min D iam e t er$ ，保留两位小数

复杂度分析

时间复杂度： $O (N)$ ，其中 $N$ 是挡板数量。我们需要遍历每个挡板一次，以及每对相邻挡板一次
空间复杂度： $O (N)$ ，用于存储挡板信息

代码实现

// Toboggan of Marbles
// UVa ID: 12483
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-12-04
// UVa Run Time: 0.010s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 点结构体
struct Point {
    double x, y;
    Point(double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) {}
};

// 挡板结构体
struct Flap {
    int yi, xf, yf;
    int connX; // 固定端的x坐标
};

// 计算点p到线段ab的最短距离
double pointToSegmentDistance(Point p, Point a, Point b) {
    double dx = b.x - a.x;
    double dy = b.y - a.y;
    
    // 如果线段退化为点
    if (fabs(dx) < 1e-9 && fabs(dy) < 1e-9)
        return sqrt((p.x - a.x) * (p.x - a.x) + (p.y - a.y) * (p.y - a.y));
    
    // 计算投影参数t
    double t = ((p.x - a.x) * dx + (p.y - a.y) * dy) / (dx * dx + dy * dy);
    
    // 限制t在[0,1]范围内
    if (t < 0.0) t = 0.0;
    if (t > 1.0) t = 1.0;
    
    // 计算投影点坐标
    Point proj(a.x + t * dx, a.y + t * dy);
    
    // 返回距离
    return sqrt((p.x - proj.x) * (p.x - proj.x) + (p.y - proj.y) * (p.y - proj.y));
}

int main() {
    int n;
    while (cin >> n) {
        int L, H;
        cin >> L >> H;
        
        vector<Flap> flaps(n);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            cin >> flaps[i].yi >> flaps[i].xf >> flaps[i].yf;
            // 奇数挡板(0-based)连左杆(0)，偶数挡板连右杆(L)
            flaps[i].connX = (i % 2 == 0) ? 0 : L;
        }
        
        double minDiameter = 1e9;
        
        // 1. 检查自由端到对侧木杆的距离
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            double distance;
            if (i % 2 == 0) { // 奇数挡板，连左杆
                distance = L - flaps[i].xf; // 到右杆的距离
            } else { // 偶数挡板，连右杆
                distance = flaps[i].xf; // 到左杆的距离
            }
            minDiameter = min(minDiameter, distance);
        }
        
        // 2. 检查相邻挡板之间的过渡
        for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
            // 挡板i的自由端
            Point p(flaps[i].xf, flaps[i].yf);
            
            // 挡板i+1的线段：从固定端到自由端
            Point a(flaps[i+1].connX, flaps[i+1].yi); // 固定端
            Point b(flaps[i+1].xf, flaps[i+1].yf);    // 自由端
            
            double distance = pointToSegmentDistance(p, a, b);
            minDiameter = min(minDiameter, distance);
        }
        
        cout << fixed << setprecision(2) << minDiameter << endl;
    }
    
    return 0;
}