UVa 11184 Joyful Ride

原创于 2025-12-04 10:02:17 发布 · 584 阅读

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#算法 #c++ #青少年编程

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题目描述分析

我们需要为一条环形过山车轨道设计 $n$ 座塔的高度。这些塔需要满足两个核心的数学约束：

高度约束：每座塔的高度必须是互不相同的正整数，且取值范围在 $1$ 到 $n + 1$ 之间（包含）。
差值约束：所有相邻两座塔（包含首尾相接的最后一座与第一座塔）高度差的绝对值，必须恰好覆盖 $1$ 到 $n$ 这 $n$ 个整数，每个整数出现且仅出现一次。

换言之，我们需要构造一个长度为 $n$ 的环形整数序列 $a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n$ ，使得：

$ai∈{1,2,…,n+1}a_i \in \{1, 2, \dots, n+1\}$ ，且当 $\neq j$ 时， $ai≠aja_i \neq a_j$ 。
令 $d_i = |a_{i+1} - a_i|$ （定义 $a_{n+1} = a_1$ ），则集合 ${d1,d2,…,dn}={1,2,…,n}\{d_1, d_2, \dots, d_n\} = \{1, 2, \dots, n\}$ 。

题目会给出多个测试用例，每个用例包含一个整数 $n$ （ $\le n \le 1000$ ）。对于每个用例，如果存在满足条件的序列，则输出该序列；否则输出 -1。

解题思路与数学推导

这个问题本质上是图论中环的优美标号问题的一个变种。解决的关键在于深入理解其存在的数论条件，并找到一个确定性的构造方法。

第一步：分析存在性条件（何时有解？）

经过数学推导（或借助已知结论），可以证明：满足条件的环形序列存在，当且仅当 $\equiv 0 \pmod{4}$ 或 $\equiv 3 \pmod{4}$ 。

简要解释：考虑所有高度 $a_i$ 的奇偶性。差值 $d_i$ 为奇数，当且仅当它所连接的两个高度 $a_i$ 和 $a_{i+1}$ 的奇偶性不同。由于差值 $1$ 到 $n$ 中奇数的个数为 $⌈n/2⌉\lceil n/2 \rceil$ ，因此环上必须有恰好 $⌈n/2⌉\lceil n/2 \rceil$ 条边连接着奇偶性不同的顶点。在一个环中，这要求奇数和偶数的顶点数量必须相等。在数字 $1$ 到 $n + 1$ 中，奇数的个数为 $⌊(n+2)/2⌋\lfloor (n+2)/2 \rfloor$ ，偶数的个数为 $⌊(n+1)/2⌋\lfloor (n+1)/2 \rfloor$ 。要使两者相等，需满足 $⌊(n+2)/2⌋=⌊(n+1)/2⌋\lfloor (n+2)/2 \rfloor = \lfloor (n+1)/2 \rfloor$ ，这成立的充要条件就是 $\equiv 0 \pmod{4}$ 或 $\equiv 3 \pmod{4}$ 。对于 $\equiv 1 \pmod{4}$ 或 $\equiv 2 \pmod{4}$ 的情况，奇偶顶点数无法匹配，因此无解。

所以，在代码中，我们首先判断 n%4 的值。如果结果不是 0 也不是 3 ，则直接输出 -1。

第二步：构造序列的差分法

当 $n$ 满足存在性条件时，我们可以通过一种巧妙的差分方法来构造序列。核心思想是：逆用差值条件。既然最终的相邻差的绝对值集合是 $1$ 到 $n$ ，那么我们是否可以假设存在一个“操作”过程，从第一个高度开始，依次加上或减去这些差值，从而得到整个序列呢？

代码采用的正是这种思路。定义一个关键变量 skipIndex，其计算方式为：
skipIndex = (n + 1) / 4 * 2 - 1 + (n % 4 == 0)。

这个公式的直观意义是，在差值序列 $\dots, n$ 中，我们需要“跳过”一个特定的差值 skipIndex，而用其余的 $n - 1$ 个差值来生成序列中 $n - 1$ 个新的高度。

构造过程如下：

确定序列的前两个数。第一个数固定为 $1$ 。第二个数 currentHeight 被设定为 1 + skipIndex。这可以看作是对“跳过”操作的一个初始补偿。
然后，我们从 diff = 1 到 n-1 遍历每一个差值，但遇到 diff == skipIndex 时则跳过。
对于其他每个差值 diff，我们根据 operationCount （已执行的操作次数）和 skipIndex 的奇偶性关系，来决定是加上还是减去这个差值，从而得到下一个高度。这种交替加减的策略确保了生成的高度最终能回到一个合理的范围内，并且满足所有的差值约束。

第三步：算法正确性

该构造方法能够保证：

生成的高度序列 $a_i$ 中的所有元素均落在 $[1, n + 1]$ 区间内。
所有高度互不相同。
相邻高度（含首尾）差的绝对值，恰好是 $1$ 到 $n$ 的一个排列。

其正确性可以通过数学归纳法或对构造过程的模拟来严格证明。简而言之，选择特定的 skipIndex 和交替加减的规则，精心地“绕开”了可能造成高度越界或差值重复的冲突点，最终形成了一个完美的环形结构。

算法复杂度分析

时间复杂度：对于每个测试用例，主要的操作是一个从 $1$ 到 $n$ 的循环，因此时间复杂度为 $O (n)$ 。考虑到 $\le 1000$ ，这非常高效。
空间复杂度：算法只使用了几个整型变量，空间复杂度为 $O (1)$ 。

参考代码

// Joyful Ride
// UVa ID: 11184
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-12-04
// UVa Run Time: 0.000s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net

#include <bits/stdc++.h>

int main() {
    int n;
    int caseNum = 1;
    while (scanf("%d", &n) == 1 && n != 0) {
        printf("Case %d:", caseNum);
        caseNum++;
        // 只有当 n ≡ 0 或 3 (mod 4) 时有解
        if (n % 4 != 3 && n % 4 != 0) {
            printf(" -1\n");
            continue;
        }
        // 计算关键参数：需要跳过的差值索引
        int skipIndex = (n + 1) / 4 * 2 - 1;
        if (n % 4 == 0) skipIndex++;  // n ≡ 0 (mod 4) 时特殊处理
        // 生成序列
        int currentHeight = 1 + skipIndex;
        printf(" 1 %d", currentHeight);
        int operationCount = 0;  // 已执行的操作次数
        for (int diff = 1; diff < n; diff++) {
            if (diff == skipIndex) continue;  // 跳过特定的差值
            // 交替进行加法和减法
            if (operationCount % 2 != skipIndex % 2) currentHeight += diff;
            else currentHeight -= diff;
            printf(" %d", currentHeight);
            operationCount++;
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}