UVa 13291 Frosting on the Cake

题目描述

面包师 $\text{Iskander}$ 正在装饰一个大蛋糕，他需要将三种不同颜色的糖霜（黄色、粉色、白色，分别用数字 $0$、$1$、$2$ 表示）涂抹在蛋糕的矩形表面上。

为了创造美观的图案，他将蛋糕表面划分为：

• 垂直条纹：宽度分别为 $A_1,A_2,\dots ,A_n$ 厘米（$n$ 条）
• 水平条纹：高度分别为 $B_1,B_2,\dots ,B_n$ 厘米（$n$ 条）

这些条纹将蛋糕表面划分为 $n\times n$ 个矩形区域。对于任意 $1\le i,j\le n$，第 $i$ 条垂直条纹与第 $j$ 条水平条纹相交形成的矩形区域的颜色编号为 $(i+j)\mathrm{mod}3$。

$\text{Iskander}$ 需要知道每种颜色的糖霜需要覆盖的总面积（平方厘米）。请你帮助他计算三个整数，分别表示颜色 $0$、$1$、$2$ 对应的总面积。

输入格式

输入包含多个测试用例，每个测试用例格式如下：

• 第一行：整数 $n$ $(3\le n\le 100000)$
• 第二行：$n$ 个整数 $A_1,A_2,\dots ,A_n$ $(1\le A_i\le 10000)$
• 第三行：$n$ 个整数 $B_1,B_2,\dots ,B_n$ $(1\le B_i\le 10000)$

输出格式

对于每个测试用例，输出三个用空格分隔的整数，分别表示颜色 $0$、$1$、$2$ 的总面积。

题目分析

问题本质

我们需要计算所有满足 $(i+j)\mathrm{mod}3=c$ 的矩形区域 $(i,j)$ 的面积之和，其中每个矩形区域的面积为 $A_i\times B_j$，$c$ 取 $0$、$1$、$2$。

朴素解法与复杂度问题

最直接的解法是枚举所有 $i$ 和 $j$（$1\le i,j\le n$），计算 $(i+j)\mathrm{mod}3$ 的值，并将 $A_i\times B_j$ 累加到对应颜色的总面积中。这种解法的时间复杂度为 $O(n^2)$。

然而，题目限制 $n$ 最大可达 $100000$，$n^2$ 将达到 $10^{10}$ 数量级，这显然是不可接受的。

关键观察与优化思路

观察颜色计算公式 $(i+j)\mathrm{mod}3$，可以发现它只与 $i\mathrm{mod}3$ 和 $j\mathrm{mod}3$ 有关，因为：
$$(i+j)\mathrm{mod}3=((i\mathrm{mod}3)+(j\mathrm{mod}3))\mathrm{mod}3$$

这意味着，如果两个位置 $i_1$ 和 $i_2$ 满足 $i_1\mathrm{mod}3=i_2\mathrm{mod}3$，那么它们对颜色分布的影响是相同的。因此，我们可以将 $A$ 数组和 $B$ 数组按下标模 $3$ 的余数分组求和。

分组统计

定义：

• $sum{A}_0$ = 所有满足 $i\mathrm{mod}3=0$ 的 $A_i$ 之和
• $sum{A}_1$ = 所有满足 $i\mathrm{mod}3=1$ 的 $A_i$ 之和
• $sum{A}_2$ = 所有满足 $i\mathrm{mod}3=2$ 的 $A_i$ 之和

类似地定义 $sum{B}_0$、$sum{B}_1$、$sum{B}_2$。

公式推导

现在考虑所有可能的 $(i\mathrm{mod}3,j\mathrm{mod}3)$ 组合：

$i\mathrm{mod}3$	$j\mathrm{mod}3$	$(i+j)\mathrm{mod}3$	贡献的颜色	贡献的面积
0	0	0	颜色0	$sum{A}_0\times sum{B}_0$
0	1	1	颜色1	$sum{A}_0\times sum{B}_1$
0	2	2	颜色2	$sum{A}_0\times sum{B}_2$
1	0	1	颜色1	$sum{A}_1\times sum{B}_0$
1	1	2	颜色2	$sum{A}_1\times sum{B}_1$
1	2	0	颜色0	$sum{A}_1\times sum{B}_2$
2	0	2	颜色2	$sum{A}_2\times sum{B}_0$
2	1	0	颜色0	$sum{A}_2\times sum{B}_1$
2	2	1	颜色1	$sum{A}_2\times sum{B}_2$

根据上表，我们可以得到每种颜色的总面积计算公式：

• 颜色 $0$ 的总面积 = $sum{A}_0\times sum{B}_0+sum{A}_1\times sum{B}_2+sum{A}_2\times sum{B}_1$
• 颜色 $1$ 的总面积 = $sum{A}_0\times sum{B}_1+sum{A}_1\times sum{B}_0+sum{A}_2\times sum{B}_2$
• 颜色 $2$ 的总面积 = $sum{A}_0\times sum{B}_2+sum{A}_1\times sum{B}_1+sum{A}_2\times sum{B}_0$

算法步骤

1. 读取 $n$ 和两个数组 $A$、$B$
2. 遍历数组 $A$，根据下标 $i\mathrm{mod}3$ 的余数累加 $A_i$ 到对应的 $sumA$ 中
3. 遍历数组 $B$，根据下标 $i\mathrm{mod}3$ 的余数累加 $B_i$ 到对应的 $sumB$ 中
4. 使用上述公式计算三种颜色的总面积
5. 输出结果

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，只需要两次遍历数组
• 空间复杂度：$O(1)$，只使用了固定大小的辅助数组

代码实现

// Frosting on the Cake
// UVa ID: 13291
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-12-01
// UVa Run Time: 0.080s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n;
    while (cin >> n) {
        vector<long long> sumA(3, 0), sumB(3, 0);
        
        // 读入 A，注意 i 从 1 开始，所以取模时用 i%3 正好对应题目中的 i%3
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            long long val;
            cin >> val;
            sumA[i % 3] += val;
        }
        
        // 读入 B
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            long long val;
            cin >> val;
            sumB[i % 3] += val;
        }
        
        // 计算三种颜色的总面积
        long long color0 = sumA[0] * sumB[0] + sumA[1] * sumB[2] + sumA[2] * sumB[1];
        long long color1 = sumA[0] * sumB[1] + sumA[1] * sumB[0] + sumA[2] * sumB[2];
        long long color2 = sumA[0] * sumB[2] + sumA[1] * sumB[1] + sumA[2] * sumB[0];
        
        // 输出结果
        cout << color0 << " " << color1 << " " << color2 << "\n";
    }
    return 0;
}

示例说明

样例输入 1

3
1 1 1
1 1 1

计算过程：

• $sumA=[1,1,1]$（$A_3=1$ 到 sumA[0]，$A_1=1$ 到 sumA[1]，$A_2=1$ 到 sumA[2]）
• $sumB=[1,1,1]$
• 颜色 $0$ = $1\times 1+1\times 1+1\times 1=3$
• 颜色 $1$ = $1\times 1+1\times 1+1\times 1=3$
• 颜色 $2$ = $1\times 1+1\times 1+1\times 1=3$

样例输入 2

7
6 2 4 5 1 1 4
2 5 1 4 2 3 4

计算过程略，结果为 $155$ $131$ $197$。

总结

本题的关键在于发现颜色只与下标模 $3$ 的余数有关，从而将 $O(n^2)$ 的枚举问题转化为 $O(n)$ 的统计问题。通过分组求和和公式计算，我们可以在线性时间内解决问题，即使 $n$ 达到 $100000$ 也能高效处理。