UVa 10886 Standard Deviation

题目大意

给定一个随机数生成器，其种子 seed 为 $64$ 位无符号整数。生成器函数 gen() 每次调用会更新 seed 并返回一个 $[0,1)$ 范围内的浮点数。你需要计算用给定种子生成前 $n$ 个数的标准差。

输入
第一行是测试用例数 $N$（最多 $40$ 个）。每个测试用例一行，包含两个整数 $n$（$1\le n\le 10^7$）和 $seed$（$0\le seed<2^{64}$）。

输出
对每个测试用例，输出一行 Case #z: 后接标准差，保留 $5$ 位小数。绝对误差不超过 $10^{-4}$ 视为正确。

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生成器分析

题目给出的生成器代码如下（已转换为 $\text{C++}$ 风格）：

unsigned long long seed;
long double gen() {
    static const long double Z = (long double)1.0 / (1ULL << 32);
    seed >>= 16;
    seed &= (1ULL << 32) - 1;
    seed *= seed;
    return seed * Z;
}

关键步骤解析：

1. Z = 1.0 / 2^{32}，所以返回值范围是 $[0,1)$。
2. seed >>= 16：右移 $16$ 位。
3. seed &= (1ULL << 32) - 1：保留低 $32$ 位。
4. seed *= seed：平方运算，可能导致溢出，但因为只保留低 $64$ 位，相当于模 $2^{64}$ 乘法。
5. 返回 seed * Z，即一个 $[0,1)$ 的浮点数。

这个生成器是一个伪随机数生成器，其序列由初始种子唯一确定。

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标准差计算公式推导

标准差的定义：
$$\sigma =\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2}$$
其中 $\mu =\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i$。

展开平方项：
$$\sigma =\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i^2-2\mu x_i+{\mu }^2)}$$
$$=\sqrt{\frac{1}{n}\sum x_i^2-\frac{2\mu }{n}\sum x_i+\frac{{\mu }^2}{n}\cdot n}$$
$$=\sqrt{\frac{1}{n}\sum x_i^2-2{\mu }^2+{\mu }^2}$$
$$=\sqrt{\frac{1}{n}\sum x_i^2-{\mu }^2}$$

关键推导结果：
$$\sigma =\sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n}-{\left(\frac{\sum x_i}{n}\right)}^2}$$

因此，我们只需维护两个累加量：

• sumX：$\sum x_i$
• sumX2：$\sum x_i^2$

计算时：

1. 均值 mean = sumX / n
2. 方差 variance = sumX2 / n - mean * mean
3. 标准差 stdDev = sqrt(variance)

注意：由于浮点数计算误差，variance 可能出现负值（极小负数），此时应将其置为 $0$。

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算法设计

1. 直接计算法

• 对于每个测试用例，初始化 seed。
• 循环 $n$ 次调用 gen()，累加 sumX 和 sumX2。
• 计算均值、方差、标准差。
• 时间复杂度：$O(n)$ 每用例。
• 空间复杂度：$O(1)$（只存累加量）。

2. 数值稳定性问题

• 当 $n$ 很大（$10^7$）时，sumX 和 sumX2 可能非常大，但 long double（通常 $80$ 位或 $128$ 位）足以应对。
• 方差计算可能出现大数相减导致精度损失，但题目允许误差 $10^{-4}$，可以接受。

3. 实现细节

• 使用 long double 存储累加量和结果。
• 输出保留 $5$ 位小数。
• 处理方差为负的情况（浮点误差）。

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代码实现

// Standard Deviation
// UVa ID: 10886
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-12-01
// UVa Run Time: 0.410s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

unsigned long long seed; // 全局变量，gen() 会修改它

long double gen()
{
    static const long double Z = (long double)1.0 / (1ULL << 32);
    seed >>= 16;
    seed &= (1ULL << 32) - 1;
    seed *= seed;
    return seed * Z;
}

int main()
{
    int caseCount;
    cin >> caseCount;
    cout << fixed << setprecision(5);
    for (int caseId = 1; caseId <= caseCount; ++caseId)
    {
        int n;
        unsigned long long initSeed;
        cin >> n >> initSeed;
        seed = initSeed;
        long double sumX = 0.0, sumX2 = 0.0;
        for (int i = 0; i < n; ++i)
        {
            long double x = gen();
            sumX += x;
            sumX2 += x * x;
        }
        long double mean = sumX / n;
        long double variance = sumX2 / n - mean * mean;
        if (variance < 0) variance = 0; // 处理浮点误差
        long double stdDev = sqrt(variance);
        cout << "Case #" << caseId << ": " << stdDev << endl;
    }
    return 0;
}

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复杂度分析

• 时间复杂度：$O(\sum n)$，每个数生成一次，计算一次累加。
• 空间复杂度：$O(1)$，只使用常数个变量。

对于最大的 $n=10^7$，单个测试用例大约需要生成 $10^7$ 个数，在合理时间内可以完成。

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注意事项

1. 浮点误差：方差计算可能出现极小负值，直接取 $0$ 即可。
2. 精度要求：使用 long double 提高精度，输出保留 $5$ 位小数。
3. 生成器细节：注意 seed 是全局变量，每个测试用例需要重新初始化。
4. 输入输出：使用 cin/cout 并关闭同步可加快速度（本题未要求，但可用于优化）。

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总结

本题是一个典型的流式计算统计量问题，核心在于利用标准差的等价公式：
$$\sigma =\sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n}-{\left(\frac{\sum x_i}{n}\right)}^2}$$
从而避免存储所有数据，只需在线更新两个累加量。同时，理解伪随机数生成器的工作原理也是解题关键。