UVa 10251 Min-Max Cake

原创于 2025-11-28 19:39:51 发布 · 869 阅读

8 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#算法 #c++ #青少年编程

计算几何专栏收录该内容

55 篇文章

订阅专栏

题目描述

$Motashota\texttt{Motashota}$ 是个很胖的男孩，他的弟弟 $Sumit\texttt{Sumit}$ 很瘦。 $Sumit\texttt{Sumit}$ 只要求平等分享蛋糕上的奶油花，而 $Motashota\texttt{Motashota}$ 不喜欢奶油花，所以不介意分享。给定蛋糕的描述和奶油花中心的位置，你需要确定 $Sumit\texttt{Sumit}$ 必须获得的最小蛋糕体积（不包括花），以便获得他应得的平等份额的奶油花。

关键假设

切割路径始终是一条直线
蛋糕为圆形或方形
切割平面始终垂直
花始终严格在蛋糕内部
蛋糕高度均匀
花对称且位于蛋糕顶部平面

输入格式

第一行是整数 $N$ ，表示测试用例数。接下来的 $N$ 行每行包含：

圆形蛋糕：三个整数 $L$ （半径）、 $H$ （高度）、 $D$ （花中心到蛋糕中心的距离， $D < L$ ）
方形蛋糕：四个整数 $L$ （边长）、 $H$ （高度）、 $D X$ （水平距离， $D X < L /2.0$ ）、 $D Y$ （垂直距离， $D Y < L /2.0$ ）

输出格式

对于每个测试用例，输出 $Sumit\texttt{Sumit}$ 必须获得的最小蛋糕体积，保留三位小数。

题目分析

问题本质

我们需要找到一条通过花中心的直线，将蛋糕分成两部分，使得较小部分的面积最小。由于蛋糕高度均匀，体积问题可以简化为面积问题（体积 $=$ 面积 $\times$ 高度）。

圆形蛋糕解法

对于圆形蛋糕，数学分析表明：

当切割线垂直于圆心到花中心的连线时，较小部分的面积达到最小值
较小部分的面积可以通过扇形面积减去三角形面积计算：

设圆的半径为 $R$ ，花中心到圆心的距离为 $D$ ，则最小面积为：
$Amin=R2⋅arccos⁡(DR)−D⋅R2−D2A_{\text{min}} = R^2 \cdot \arccos\left(\frac{D}{R}\right) - D \cdot \sqrt{R^2 - D^2}$

特殊情况：当 $D = 0$ （花在圆心）时，任何通过圆心的直线都会将圆平分成两个半圆，面积为 $πR22\frac{\pi R^2}{2}$ 。

方形蛋糕解法

对于方形蛋糕，关键观察是：

极值出现在分割线连接顶点和花中心或垂直于顶点-花中心连线时
对于每个顶点，我们考虑两种情况：
1. 连接顶点和花中心的直线作为分割线
2. 过花中心且垂直于顶点 $-$ 花中心连线的直线作为分割线

数学原理：

如果分割线不经过这些关键方向，我们可以微调分割线来获得更小的面积
因此只需要检查有限的关键方向（ $4$ 个顶点 $\times$ $2$ 种情况 $=$ $8$ 种情况）

面积计算：

使用半平面交算法计算分割线一侧的多边形面积
另一侧面积 $=$ 总面积 $-$ 已计算面积
取所有情况中的最小面积

算法实现

核心数据结构

Point：表示二维点，支持向量运算
主要操作：点积、叉积、旋转、长度计算

关键函数

minCircleArea：计算圆形蛋糕的最小切割面积
polygonArea：计算多边形面积（鞋带公式）
halfPlaneIntersection：半平面交，求直线与多边形的交集
minSquareArea：计算方形蛋糕的最小切割面积

复杂度分析

圆形蛋糕： $O (1)$ ，直接公式计算
方形蛋糕： $O (1)$ ，固定检查 $8$ 种情况
总体复杂度： $O (N)$ ，其中 $N$ 为测试用例数

代码实现

// Min-Max Cake
// UVa ID: 10251
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-11-28
// UVa Run Time: 0.000s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const double PI = acos(-1.0);
const double EPS = 1e-12;

// 计算圆形蛋糕的最小切割面积
double minCircleArea(double radius, double distance) {
    if (distance < EPS) return PI * radius * radius / 2.0;
    double area = radius * radius * acos(distance / radius) - distance * sqrt(radius * radius - distance * distance);
    return area;
}

// 点结构体
struct Point {
    double x, y;
    Point(double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) {}
    Point operator+(const Point& p) const { return Point(x + p.x, y + p.y); }
    Point operator-(const Point& p) const { return Point(x - p.x, y - p.y); }
    Point operator*(double k) const { return Point(x * k, y * k); }
    double cross(const Point& p) const { return x * p.y - y * p.x; }
    double dot(const Point& p) const { return x * p.x + y * p.y; }
    double len() const { return sqrt(x * x + y * y); }
    Point rotate90() const { return Point(-y, x); } // 逆时针旋转90度
};

// 计算多边形面积（鞋带公式）
double polygonArea(const vector<Point>& poly) {
    double area = 0;
    int n = poly.size();
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int j = (i + 1) % n;
        area += poly[i].x * poly[j].y - poly[j].x * poly[i].y;
    }
    return fabs(area) / 2.0;
}

// 半平面交：求直线ab与多边形poly的交集（在直线ab的左侧）
vector<Point> halfPlaneIntersection(const vector<Point>& poly, const Point& a, const Point& b) {
    vector<Point> result;
    int n = poly.size();
    
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        Point p1 = poly[i];
        Point p2 = poly[(i + 1) % n];
        
        // 判断点p1在直线的哪一侧
        double cross1 = (b - a).cross(p1 - a);
        double cross2 = (b - a).cross(p2 - a);
        
        // 如果p1在左侧，加入结果
        if (cross1 >= -EPS) result.push_back(p1);
        
        // 如果线段与直线相交，加入交点
        if (cross1 * cross2 < -EPS) {
            double t = (b - a).cross(a - p1) / (b - a).cross(p2 - p1);
            Point inter = p1 + (p2 - p1) * t;
            result.push_back(inter);
        }
    }
    
    return result;
}

// 计算方形蛋糕的最小切割面积
double minSquareArea(double side, double dx, double dy) {
    double half = side / 2.0;
    double totalArea = side * side;
    
    // 方形的四个顶点（逆时针顺序）
    vector<Point> square = {
        Point(-half, -half), Point(-half, half), 
        Point(half, half), Point(half, -half)
    };
    
    // 花的位置
    Point flower(dx, dy);
    
    double minArea = totalArea;
    
    // 考虑四个顶点与花位置的连线
    for (int i = 0; i < 4; i++) {
        Point vertex = square[i];
        
        // 情况1：连接花位置和顶点的直线作为分割线
        vector<Point> part1 = halfPlaneIntersection(square, flower, vertex);
        double area1 = polygonArea(part1);
        double area2 = totalArea - area1; // 另一部分的面积
        minArea = min(minArea, min(area1, area2));
        
        // 情况2：过花位置作该直线的垂线作为分割线
        Point dir = vertex - flower;
        Point normal = dir.rotate90(); // 垂直方向
        
        vector<Point> part3 = halfPlaneIntersection(square, flower, flower + normal);
        double area3 = polygonArea(part3);
        double area4 = totalArea - area3; // 另一部分的面积
        minArea = min(minArea, min(area3, area4));
    }
    
    return minArea;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    
    cout << fixed << setprecision(3);
    
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int first, second, third, fourth = 0;
        cin >> first >> second >> third;
        
        char c = cin.peek();
        if (c != '\n' && c != EOF) {
            cin >> fourth;
            // 方形蛋糕
            double area = minSquareArea(first, third, fourth);
            double volume = area * second;
            cout << volume << endl;
        } else {
            // 圆形蛋糕
            double area = minCircleArea(first, third);
            double volume = area * second;
            cout << volume << endl;
        }
    }
    
    return 0;
}